Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 10

Nos Exercícios 5-14, utilize o teorema de Green para encontrar a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F e a curva C.

F = ( x + 3 y ) i + ( 2 x - y ) j

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para resolver este exercício é importante saber duas definições. Veja a seguir.De acordo com o teorema 5, página 398 , definimos circulação em sentido anti-horário de F ‾ ao redor do caminho C como sendo

∮     C F → ⋅ T → d s = ∮     C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x x y .

De acordo com o teorema 4, página 397, definimos fluxo exterior de F ‾ através de C como sendo a integral dupla do d i ⁡ F ‾ sobre a região R delimitada por C ,

∮     C F ‾ ⋅ n ‾ d s = ∮     C M d y - N d x = ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y . 

Passo 2

Acompanhe! Sendo o campo vetorial F → = ( x + 3 y ) i → + ( 2 x - y ) j → atuando sobre a região limitada por C : x 2 + y 2 = 2 , com - 2 ≤ x ≤ 2 , - 2 - x 2 2 ≤ y ≤ 2 - x 2 2 Em seguida, você vai encontrar M e N : M = x + 3 y e N = 2 x - y Assim, suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ x = 1 , ∂ M ∂ y = 3 e ∂ N ∂ x = 2 , ∂ N ∂ y = - 1

Passo 3

Dessa forma, para calcularmos a circulação no sentido anti-horário substituimos ∂ N ∂ x = 2 e ∂ M ∂ y = 3 em ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x x y e resolvemos a integral dupla, como segue:

∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x x y = ∬ R   [ 2 - 3 ] d y d x = ∫ - 2 2   ∫ - 2 - x 2 / 2 2 - x 2 / 2   ( - 1 ) d y d x = - 2 2 ∫ - 2 2   2 - x 2 d x = - π 2

Passo 4

Dessa forma, para calcularmos o fluxo exterior substituimos ∂ M ∂ x = 1 e ∂ N ∂ y = - 1 em ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y = ∬ R   [ 1 + ( - 1 ) ] d x d y = 0

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize a formula da área do teorema de Green no Exercicio abaixo para encontrar a áreas da região delimitada pela curva .
Utilize a formula da área do teorema de Green no Exercicio abaixo para encontrar a áreas da região delimitada pela curva .
Nos Exercícios 1-4, verifique a conclusão do teorema de Green calculando ambos os lados das Equações 3 e 4 para o campo F = M i + N j . Tome os domínios de integração em cada caso como sendo o disco R
Nos Exercícios 19 e 20, encontre o trabalho realizado por F paramover uma partícula uma vez em sentido anti-horário ao redor dacurva dadaF = (4x – 2y)i + (2x – 4y)jC: A circunferência (x – 2)2 + (y –
Nos Exercícios 1-4, verifique a conclusão do teorema de Green calculando ambos os lados das Equações 3 e 4 para o campo F = M i + N j . Tome os domínios de integração em cada caso como sendo o disco R