Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 8.2 - Ex. 4
4 ) Calcule onde γ é uma curva fechada, simples, por partes, cuja imagem é a fronteira de um compacto B e
Passo 1
Queremos
Logo podemos usar o teorema de green, afinal
Uma ideia para resolvermos essa integral é usar o lado direito desse teorema
Passo 2
Sabendo que
Podemos então calcular as derivadas parciais
Passo 3
Assim nossa integração fica
Essa integral é um calculo de área, vamos chamar essa área de k. Logo nosso calculo fica
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
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2 ) Sejam γ1 a poligonal de vértices A, B, C, D orientada no sentido antihorário e γ2 a poligonal de vértices H, G, F, E orientada no sentido horário.Suponha P e Q de classe C1 num aberto contendo K,
5) Seja K a região abaixo e γ a fronteira de K orientada no sentido antihorário. Sejam P e Q de classe C1 num aberto contendo K.Prove que ∮ γ P d x + Q d y= ∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ yd x d y ( Sugestao : D
3 ) Seja B o conjuntoe seja γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário. Suponha P (x,y) e Q (x, y) de classe C1 num aberto Ω contendo B. Prove que ∮ γ P d x + Q d y= ∬ B ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ yd x
(Teorema de Green para um círculo.) Seja B o círculo de centro na origem e raio r . Seja γ t = r cos t , rs e nt , 0 ≤ t ≤ 2 π . Suponha que P e Q sejam de classe C 1 num aberto Ω contendo B . Prove
Seja K o triangulo a seguir e γ a fronteira de K orientada no sentido anti-horário. Sejam P ( x ,y ) e Q ( x ,y ) de classe C 1 num aberto contendo K .Prove que ∮ γ P d x + Q d y = ∫ ∫ K ∂ Q d x - ∂ P