Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x₁ ; (c) calcule f'(-)(x1) e f'_(+) (x_1), se existirem; (d) determine se f é derivável em x 1 .

4. f(x) = 1 + |x + 2|; x1 = -2

Letra (b)

Passo 1

Para determinar se f ( x ) é continua em um ponto deve-se atender a 3 pré-requisitos, ou seja , para uma função ser continua em x0:

  1. f ( x 0 ) tem que existir;
  2. lim x → x 0 ⁡ f x   tem que existir;
  3. lim x → x 0 ⁡ f x   = f ( x 0 ) .

Assim, deve-se verificar cada um dos itens ácima para dizer se f x é continua em x 0 .

Passo 2

Ao substituir x 0   = - 2 na função, percebemos que a expressão onde vamos substituir esse valor é a primeira função, pois a mesma está definida para x 0   = - 2 . Com isso temos que f   - 2 =   1 .

Passo 3

Para verificar que um limite existe devemos lembrar do conceito de limites laterais, ou seja , lim x → x 0 ⁡ f x   existe se lim x → x 0 + ⁡ f x   = k = lim x → x 0 - ⁡ f x   .

Assim, temos que :

lim x → x 0 + ⁡ f x = lim x → - 2 + 1 + ⁡ ( x + 2 ) = 1  

lim x → x 0 - ⁡ f x = lim x → - 2 - ⁡ 1 + [ - x + 2 ] = 1

Com isso podemos afimar que lim x → x 0 ⁡ f x   existe e é igual a 1.

Passo 4

Verificando a ultima condição , temos:

lim x → - 2 ⁡ f x = 1 = f ( - 2 )  

Com isso, como os 3 itens necessários foram atendidos; pode-se afirmar que f   ( x ) é continua em x 0   = - 2 .

Resposta

f   ( x ) é continua em x 0   =   - 2 .

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