Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é derivável em   x 1 .

13. f x = x + 1 3 ; x 1 = - 1

Letra (d)

Passo 1

Uma função f definida num intervalo aberto que contém x1 será derivável em x1 se e somente se f ´ + x 1   e   f ´ - x 1 ambas existirem e forem iguais.

Passo 2

Como obtemos que f ´ - - 1 = f ´ + - 1 = ∞ , = +∞, podemos afirmar que   f ´ - 1 não existe. Assim, f(X) não é derivável em x1 = -1. Com isso, percebe-se que uma função ser contínua em X1 , não necessariamente implica que ela é derivável em X1.

Resposta

(d) f(X) não é derivável em x1 = -1.

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Seja f x = { x + 1 s e x2 1 s e x ≥ 2 } a) f é contínua em 2 ? Por quê?b) f é derivável em 2 ? Por quê?
Seja f x =x 2 s e x ≤ 0 - x 2s e x0 a) f é derivável em 0 ? Justifique.b) f é contínua em 0 ? Justifique.
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe g definida em R , contínua em 0 , tal que f x = xg x para todo x .
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t ≤ x - t 2 Calcule f ' x .
Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .