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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 47

Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t

f x - f t ≤ x - t 2

Calcule f ' x .

Passo 1

Podemos dividir ambos os lados da inequação por x - t :

f x - f t x - t ≤ x - t 2 x - t

f x - f t x - t ≤ x - t

Como a inequação vale para quaisquer x e t , vamos reescrever x = x + h e t = x , olha só:

f x + h - f x ( x + h ) - x ≤ ( x + h ) - x

f x + h - f x h ≤ h

Passo 2

Agora, usamos o teorema do sanduíche, tomando o limite quando h → 0 :

0 ≤ f x + h - f x h ≤ h

0 ≤ lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h ≤ lim h → 0 ⁡ h

0 ≤ lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h ≤ 0

Portanto, lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = 0 , o que implica que:

lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = 0

f ' x = 0

Resposta

f ' x = 0

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22. Dada f x = 4 - x 2 . (a) Prove que f é contínua no intervalo fechado [ - 2 ,2 ] . (b) Prove que nem f ´ + 2 nem f ´ - ( 2 ) não existe. (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra (b)
24. Dada f x = 8 - x . (a) Prove que f é contínua à esquerda de 8. (b) Prove que f ´ - 8 não existe. (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra (a)
25. Dada f x = s g nx . (a) Prove que f ´ + 0ef ´ - 0 não existem. (b) Prove que lim x → 0 + ⁡ f ´ ( x ) = 0elim x → 0 - ⁡ f ´ ( x ) = 0 . (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra ( b )
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23. Dada f x = x 2 - 9 . (a) Prove que f é contínua em - ∞ , - 3e3 , + ∞ . (b) Prove que nem f ´ - - 3 nem f ´ + ( 3 ) existem. (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra (c)