Existe uma função f tal que f 0 = - 1 , f 2 = 4 e f ' ( x ) ≤ 2 para todo x ?

Passo 1

Eaeee, belezinha?

Bom... a questão nos pergunta se existe uma função f tal que

f 0 = - 1 , f 2 = 4 e f ' ( x ) ≤ 2 para todo x

E pra fazer isso vamos relembrar o que diz o teorema do valor médio:

“Sendo f a função que satisfaça às seguintes condições:

f é contínua no intervalo fechado de [ a ,   b ] ;

f é diferenciável no intervalo aberto de a ,   b ;

Então há um número c no intervalo aberto ( a ,   b ) onde

f ' c = f b - f a b - a

Bora ver isso acontecendo então.

Passo 2

E enunciado nos deu

f 0 = - 1 , f 2 = 4 e f ' ( x ) ≤ 2 para todo x

E aplicando essas informações no Teorema do Valor Médio, vamos verificar se existe um número 0 < c < 2 tal que:

Sendo:

f ' c = f b - f a b - a

f ' c = f 2 - f 0 2 - 0

E substituindo os valores, ficaremos com:

f ' c = 4 - - 1 2

f ' c = 5 2

Como f ' x ≤ 2 para qualquer x , essa função não pode existir, pois 5 2 > 2 .

Resposta

Não existe.

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