Resolva cada equação em x :

a) ln(ln(x)) = 1

b) e^(ax) = C \* e^(bx) , onde a != b

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente resolver as equações (a) l n ⁡ ( ln ⁡ x ) = 1 e (b) e a x = C e b x , onde a ≠ b , em x . Isso significa que temos que encontrar o valor de x em cada uma delas.

Pra isso, vamos aplicar algumas propriedades de logaritmo, simplificar a nossa equação e isolar x .

Vamos lá!

Passo 2

Em (a) temos:

l n ⁡ ( ln ⁡ x ) = 1

Aplicando a função inversa do ln, ou seja, a função exponencial natural e x , em ambos os lados, temos:

e l n ⁡ ( l n x ) = e 1

Como são funções inversas, elas se cancelam e obtemos:

ln ⁡ x = e

Aplicando de novo a função inversa, ficamos com:

x = e e

Passo 3

Em (b), temos:

e a x = C e b x , onde a ≠ b

Como a nossa variável está no expoente, aplicaremos de novo a função inversa, que nesse caso é o logaritmo natural:

ln ⁡ e a x = l n ⁡ ( C e b x )

No primeiro termo, elas se cancelam. No segundo, temos que lembrar da propriedade dos logaritmos, de modo que o logaritmo do produto possa ser escrito como a soma de logaritmos da mesma base, ou seja:

a x = ln ⁡ C + ln ⁡ e b x  

Novamente, logaritmo e exponencial se cancelam:

a x = ln ⁡ C + b x  

Então:

a x - b x = ln ⁡ C  

Colocando x em evidência:

x a - b = l n ⁡ C

E isolando x , temos:

x = l n ⁡ C a - b

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) e e

b) x = l n ⁡ C a - b

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