A densidade linear de um cabo de comprimento de 1 m é dado por ρ x = 1 / x , em gramas por centímetro, onde x é medido em centímetros a partir da extremidade do cabo. Encontre a massa do cabo.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😊

Nesse problema temos que a densidade linear de um cabo de comprimento de 1 m é dado por

ρ x = 1 x

em gramas por centímetro, onde x é medido em centímetros a partir da extremidade do cabo.

A partir daí queremos obter a massa total do cabo.

Parece complicado? 🤔

Para resolver esse problema temos que saber que

ρ x = d m d x

Portanto, para resolver esse problema temos que obter a antiderivada de ρ .

Chamaremos a massa, medida a partir de uma extremidade, de m ( x ) , e usaremos

m 0 = 0

Veja só! 😉

Passo 2

Vimos que a densidade é dada por:

ρ x = 1 x

E para facilitar um pouco nossa vida, vamos escrever essa raiz que está no denominador como uma potência de expoente fracionário. Assim:

ρ x = 1 x 1 2

E para usar a regra da antiderivada de potências, vamos coloca-la no numerador.

Assim:

ρ = d m d x = x - 1 2

Calculando a antiderivada de ρ , vamos usar a seguinte regrinha:

x n = > x n + 1 n + 1

Assim:

m x = x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C

E teremos:

m x = 2 x 1 2 + C

E como m 0 = C = 0 ...

Que pode ser escrita como:

m x = 2 x

Bacana, não é? 😬

Passo 3

Tendo a fórmula geral, podemos encontrar a massa do cabo de 100 cm:

m 100 = 2 100

m 100 = 20 g

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😎

Resposta

m = 20 g

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