Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.5 - Ex. 61

Falaaaa... belezinha??

Nessa questão vamos demonstrar que a função cosseno

é uma função contínua.

Pra isso vamos lembrar que pra uma função ser contínua em um ponto , ela precisa de três coisinhas:

1. está definida (o valor da função em existe e pra isso vamos usar o conceito de domínio da função)

2. deve existir (aqui vamos analisar os limites laterais e eles devem ser iguais pro limite existir)

3. (aqui o valor do limite deve ser igual ao valor da função naquele ponto)

E se mostrarmos que pode ser qualquer número, então a função será contínua.

Primeiro vemos o domínio da função cosseno. Bom... lembra que cosseno é aquela função minhoca? Podemos usar qualquer valor de que ela vai existir.

Então a função cosseno tem o domínio igual ao conjunto dos números reais.

Portanto, o valor de está definido para todos os números reais , pois o cosseno é uma função bem definida para todos os reais.

Agora analisar os limites de quando se aproxima de pela esquerda e pela direita.

- Pela esquerda:

- Pela direita:

Como os limites laterais são iguais, então existe e é igual a .

Por último verificamos se o limite é igual ao valor da função.

Temos que:

E da função:

Portanto, o limite de tendendo a é igual ao valor da função quando é igual a .

Como todos os critérios de continuidade são atendidos, então a função cosseno é contínua.

Demonstração