30) Explique em termos de aproximações lineares ou de diferenciais por que a aproximação é razoável.

(1,01)^6 ≈ 1,06

Passo 1

Fala aí. Tudo belezinha com você?

Bom, essa questão pede pra gente explicar em termos de aproximações lineares ou diferenciais por que a aproximação

1,01 6 ≈ 1,06

É uma aproximação razoável.

Para isso, vamos adequar isso a uma função de x , onde x é o número que está sendo operado:

f x = x 6

Para obter a linearização L ( x ) uma função f x , devemos utilizar a aproximação da função em a :

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Para encontrar a derivada de f ' x .

Vem comigo que te mostro tudinho.

Passo 2

Para isso vamos derivar a função

f x = x 6

Como a função é uma potência de x podemos fazer a derivação usando a regra do expoente. Assim:

f ' x = 6 x 5

Aplicando em L x , com a = 1 é:

L x = f a + f ' a x - a

Substituindo, ficamos com:

L x = 1 6 + 6 ( 1 ) 5 ( x - 1 )

E resolvendo, teremos:

L x = 1 + 6 ( x - 1 )

L x = 6 x - 5

Perfeito.

Passo 3

Para x = 1,01 temos:

L 1,01 = 6 1,01 - 5

e resolvendo, ficamos com:

L 1,01 = 1,06

Como

f ( x ) ≈ L x

então, podemos concluir que:

1,01 6 ≈ 1,06

A aproximação é razoável tendo em vista que o valor real é 1,061520151 .

E prontinho.

Resposta

Demonstração.

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