Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.9 - Ex. 46
Para a lei adiabática da expansão de ar (Exercício 24 nos Exercícios 3.9), prove que .
Passo 1
Para começar a questão, é fácil notar que precisaremos saber da lei adiabática da expansão de ar (voltar ao Exercício 24 nos Exercícios 3.9, caso não lembre), a qual afirma que, para uma transformação adiabática:
Onde é o número de quilos por unidade quadrada de pressão, é o número de unidades cúbicas do volume do gás, e , uma constante. No caso a ser avaliado, foi fornecido .
Assim, podemos escrever como uma função do volume , da seguinte forma:
Passo 2
Uma pausa no desenvolvimento da questão para relembrar como se calcula a derivada implícita de funções polinomiais. Sem perda de generalidade, façamos a derivada do polinômio de grau de apenas um termo:
Passo 3
Usando os conhecimentos relembrados no Passo 2, basta agora derivar a função implicitamente, para que apareçam os termos e .
Passo 4
Perceba que a constante não aparece na equação na qual queremos chegar, o que nos mostra que temos que “sumir” com esse termo de alguma forma. Para isso, perceba que temos o valor da constante em função de e , pela própria equação original da lei adiabática:
Passo 5
Substituindo na equação encontrada no Passo 3:
Concluindo a demonstração pedida.