Explique, usando os teoremas 4,5, 7 e 9 , porque a função é contínua em todo o número em seu domínio. Estabeleça o domínio.

F(x) = x / (x^2 + 5x + 6)

Passo 1

Olá, meu querido estudante. Estarei te ajudando a entender essa atividade de limites.

Veja, a questão nos pede para utilizarmos os teoremas 4,5 , 7   e   9 para explicarmos o porquê de a função indicada ser continua em todo o domínio da mesma.

Antes de qualquer coisa, devemos primeiro olhar o que os teoremas do enunciado têm a nos dizer.

Para a nossa equação, os teoremas 4 e 5 são suficientes, pois a partir deles poderemos provar o porquê nossa função F ( x ) é continua.

Além disso, precisamos encontrar o domínio da função, que são os valores para quais a função existe. Basicamente, são os valores de x que nossa função aceita.

Passo 2

Veja que o teorema 4 diz que se tivermos uma divisão de funções, e elas forem contínuas, a função de divisão também é continua, desde que o denominador seja diferente de zero.

Temos então no nosso caso duas funções

f = x

E

g = x 2 + 5 x + 6

O teorema 5 diz que qualquer polinômio é contínuo em toda parte, sendo assim, a única coisa que nos falta para provarmos que a nossa função é continua em seu domínio, como nos foi pedido, é encontrar o domínio dela.

Passo 3

Veja que o teorema 4 já nos ajuda a encontrar o domínio da nossa função, pois neste caso em que estamos, não podemos ter g = 0 , assim como nos é pedido no teorema 4 .

Então vamos calcular:

x 2 + 5 x + 6 ≠ 0

E assim encontrarmos nosso domínio e a última condição de continuidade da função.

Utilizando Bhaskara para encontrarmos as raízes:

Δ = 25 - 4 1 6

Δ = 1

x = - 5 ± 1 2

x 1 = - 2 2 = - 1

x 2 = - 6 2 = - 3

Sendo assim, nossa função é continua em seu domínio, pois é uma divisão funções continuas, sendo o domínio:

D F x = x ∈ R   |   x ≠ - 1   e   x ≠ - 3

É isso meu amigo. Um forte abraço e até uma próxima.

Resposta

D F x = x ∈ R   |   x ≠ - 1   e   x ≠ - 3

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