Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.8 - Ex. 2

É dado o gráfico da função custo.

Faça um esboço cuidadoso da função custo marginal.

Use a interpretação geométrica do custo médio como uma inclinação (veja a figura 1) para fazer um esboço cuidadoso da função custo médio.

Estime o valor de para o qual é um mínimo. Como estão relacionados os custos médio e marginal naquele valor de ?

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver mais uma atividade hoje.

Temos o gráfico da função , que representa o custo.

E precisamos encontrar algumas informações sobre ele. Precisamos de inicio esboçar a função custo marginal, dado esse gráfico. O custo marginal é dado por , isso significa que deveremos traçar retas tangentes em diferentes ponto do gráfico, devemos então aproximar o valor dessas inclinações para que possamos então construir o gráfico.

A função custo médio é cada por:

Devemos então aproximar diversos pontos no gráfico do custo para conseguirmos resolver essa.

Passo 2

Para esboçar o gráfico do custo marginal temos que traçar as tangentes à curva em cada ponto e analizar as inclinações em relação à horizontal. Transferindo as retas tangentes para a origem, podemos avaliar seu valor, que é numerivamente igual à tangente do ângulo em relação à horizontal.

A inclinação em é aproximadamente igual a , depois em aproximadamente igual a .

Depois passa por um ponto de inclinação mínima aproximadamente igual a em e no final volta a aumentar até em . Esboçando, temos a seguinte curva:

Passo 3

Para traçar a curva do custo médio , vamos ligar os pontos da curva à origem e calcular as tangentes dos ângulos entre as retas e a horizontal.

Vamos fazer isso para . Para ilustrar, fazemos só a reta para , em vermelho.

Então temos:

Com isso esboçamos a função . Devemos notar que o ponto mínimo de ocorre entre e .

Passo 4

será mínimo quando a reta que liga um ponto da curva à origem for menos inclinado possível. Isso ocorre quando essa reta é tangente à curva:

Como podemos ver na figura, é mínimo quando é aproximadamente . Nesse ponto, é igual à derivada de :

Resposta

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