Use a continuidade para calcular o limite.

lim x → 2 ⁡ a r c t g   x 2 - 4 3 x 2 - 6 x

Passo 1

Opa, bora lá! Temos:

lim x → 2 ⁡ a r c t g   x 2 - 4 3 x 2 - 6 x

O enunciado pede para resolver um limite usando a propriedade da continuidade de funções. Essa propriedade é dada pelo teorema 8 apresentado na seção do livro:

“Se f for contínua em b e lim x → a ⁡ g ( x ) = b , então lim x → a ⁡ f g x = f ( lim x → a ⁡ g ( x ) ) = f ( b )

Em outras palavras, o que o teorema diz é que se f for contínua, podemos tirar ela para fora do limite.

Passo 2

Como o arco tangente é uma função contínua, podemos usar a propriedade da continuidade:

lim x → 2 ⁡ a r c t g   x 2 - 4 3 x 2 - 6 x = a r c t g   lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 3 x 2 - 6 x

Passo 3

Devemos calcular então o limite

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 3 x 2 - 6 x = 0 0

Como temos uma indeterminação do tipo 0/0, vamos fatorar tanto numerador como o denominador:

x 2 - 4 = x + 2 x - 2

3 x 2 - 6 x = 3 x ( x - 2 )

Assim,

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 3 x 2 - 6 x = lim x → 2 ⁡ ( x + 2 ) ( x - 2 ) 3 x ( x - 2 ) = lim x → 2 ⁡ x + 2 3 x = 2 + 2 3 ⋅ 2 = 4 6 = 2 3

Desta forma, o limite pedido será

lim x → 2 ⁡ a r c t g   x 2 - 4 3 x 2 - 6 x = a r c t g   lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 3 x 2 - 6 x = a r c t g 2 3

Prontinho!

Resposta

R: a r c t g 2 3 .

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