Seja f(x) = x^3 + x . Prove que

a) |f(x) - f(2)| ≤ 20 |x - 2| para 0 ≤ x ≤ 3

b) f é contínua em 2

Passo 1

a) Para provar que |f (x) - f (2)| <= 20 |x - 2| devemos desenvolver o lado esquerdo da inequação:

|f (x) - f (2)| = |x^3 + x - (2^3 + 2)| = |x^3 + x - 10|

|f (x) - f (2)| = |x^3 + x - 10|

Se x = 2 f (x) - f (2) = 0 , logo x^3 + x - 10 = 0 , então 2 é raiz de x^3 + x - 10 , assim, podemos fatorar esse polinômio, colocando x - 2 em evidência:

Usando o método de Briot-Ruffini para dividir os polinômios temos:

Assim:

x^3 + x - 10 = (x - 2) (x^2 + 2 x + 5)

Então:

|f (x) - f (2)| = |x^3 + x - 10| = |(x - 2) (x^2 + 2 x + 5)| = |x - 2| |x^2 + 2 x + 5|

|f (x) - f (2)| = |x - 2| |x^2 + 2 x + 5|

Como x^2 + 2 x + 5 não possui raízes reais e é sempre um número positivo, então:

|x^2 + 2 x + 5| = x^2 + 2 x + 5

Para um valor 0 <= x <= 3 :

0^2 + 2 (0) + 5 <= x^2 + 2 x + 5 <= 3^2 + 2 (3) + 5

5 <= x^2 + 2 x + 5 <= 20

Assim,

5 |x - 2| <= |x - 2| |x^2 + 2 x + 5| <= 20 |x - 2|

E como |f (x) - f (2)| = |x - 2| |x^2 + 2 x + 5| podemos reescrever a inequação de modo que:

5 |x - 2| <= |f (x) - f (2)| <= 20 |x - 2|

Logo, provamos que |f (x) - f (2)| <= 20 |x - 2| para 0 <= x <= 3 .

Passo 2

b) Para f ser contínua em 2 , basta que para todo ϵ > 0 exista delta > 0 tal que para um x qualquer do domínio tenhamos:

|x - 2| < delta => |f (x) - f (2)| < ϵ

E como provamos no item (a) que para 0 <= x <= 3 , temos |f (x) - f (2)| <= 20 |x - 2| , então podemos dizer que sempre vai existir M > 0 para qualquer x que satisfaça

|f (x) - f (2)| <= M |x - 2|

Tomando delta = (ϵ)/(M) :

|x - 2| < (ϵ)/(M)

M |x - 2| < ϵ

|f (x) - f (2)| <= M |x - 2| < ϵ

|f (x) - f (2)| < ϵ

Assim, provamos que a afirmação |x - 2| < delta => |f (x) - f (2)| < ϵ é verdadeira e, portanto, f é contínua em 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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