Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.1 - Ex. 14
Considere a função dada por
a) Verifique que =e contínua em .
b) Mostre que é a única raiz de em , que e que .
c) Conclua que em e que em .
Passo 1
a) Temos a subtração de um polinômio de grau , que é contínua em , e uma raiz que é contínua onde existir, então a diferença é contínua no domínio de , ou seja, a raiz deve existir.
A raiz existe em:
Como temos uma parábola que o coeficiente de é positivo, temos que sua porção positiva está na região externa a suas raízes:
Se as raízes são zero e .
Ou
Se é contínua em e em . Logo, provamos que é contínua em .
Passo 2
b) Temos que, para :
Se :
Se temos que é raiz, podemos dividir o polinômio por , para procurarmos raízes diferentes de :
Quando , cada um dos termos é maior que zero, portanto, não há raiz.
Assim, , não há raiz diferente de ;
Logo, provamos que é a única raiz de em .
Também temos:
Logo e que .
Passo 3
c) Se sabemos que , , não existe outras raízes além de e para e que que , então para temos , e se após o não passa no zero novamente, além de , então para temos . Logo concluímos que em e que em .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)