Nos exercícios de 57 a 62, faça um esboço do gráfico da função; então, observando as quebras no gráfico, determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua e mostre, em cada caso de descontinuidade, por que a Definição 2,6,1 não é satisfeita.

59)   f x = 2 x + 1 ,   s e   x ≤ - 2 x - 2 ,   s e - 2 < x ≤ 2 2 - x ,   s e   2 < x

Passo 1

Precisamos avaliar os limites laterais dos valores limítrofes das condições ( x   = - 2   e   x = 2 ) para entender como a função se comporta na região desses valores.

lim x → - 2 + ⁡ f ( x ) = - 4

lim x → - 2 - ⁡ f ( x ) = - 3

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = 0

lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = 0

Passo 2

O gráfico da função f x = 2 x + 1 ,   s e   x ≤ - 2 x - 2 ,   s e - 2 < x ≤ 2 2 - x ,   s e   2 < x   será:

Passo 3

Agora vamos verificar as condições da Definição 2.6.1

  1. f ( - 2 ) = - 3   e   f ( 2 ) = 0  
  2. lim x → - 2 ⁡ f ( x )   n ã o   e x i s t e   e   lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 0
  3. f ( 2 ) =   lim x → 2 ⁡ f ( x )

Portanto, a função é continua em   x   = 2 e descontínua em x = - 2 .

Resposta

Gráfico da função:

A função é descontínua em x = - 2  

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Suponha f contínua no intervalo I e que f admita neste intervalo uma única raiz a . Suponha, ainda, que existe x 0 em I , com x 0a , tal que f x 00 . Prove que, para todo x em I , com xa , f x0 .
a) Prove que todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real.b) Prove que todo polinômio de grau ímpar admite pelo menos uma raiz real.
Seja f : - 1,1 → R dada por f x = x 2 + x 1 + x 2 .a) Prove que f 1 é o valor máximo de f .b) Prove que existe x 1 ∈] - 1,0 [ tal que f x 1 é o valor mínimo de f .
Seja f : I → R contínua, onde I é um intervalo qualquer. Prove que a imagem de f é um intervalo.
Suponha f contínua em I e sejam a e b pertencentes a I , com ab , as únicas raízes de f em I . Sejam x 0 , x 1 e x 2 em I com x 0a ,ax 1b e bx 2 . Estude o sinal de f em I , a partir dos sinais de f (