(a) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. (b) Use sua calculadora para encontrar um intervalo de comprimento 0,01 que contenha a raiz.

f(x) = e^x = 2 - x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos mostrar que a equação possui pelo menos uma raiz real e encontrar um intervalo de comprimento que contenha a raiz.

f x = e x = 2 - x

Para isso, iremos encontrar valores que nos mostrem que existe uma raiz pelo teorema do valor intermediário. Nossa função contém uma exponencial   e x e um polinômio, portanto, é continua para qualquer intervalo real. Iremos substituir valores de um intervalo a nossa escolha para tentar utilizar o teorema.

Passo 2

A função é contínua no intervalo [ 0 ,   1 ] por ser um polinômio e uma exponencial. Substituindo os valores do intervalo, temos

f 0 = e 0 - 2   + 0 = - 1

f 1 = e 1 - 2 + 1 = 1.7182

Como   - 1 < 0 < 1.7182 , então, pelo Teorema do Valor Intermediário, no intervalo ( 0 ,   1 ) há um número c tal que f c = 0 , como queremos provar.

Resposta

Como   - 1 < 0 < 1.7182 , então, pelo Teorema do Valor Intermediário, no intervalo ( 0 ,   1 ) há um número c tal que f c = 0 . Dessa forma, existe uma raiz de f ( x ) no intervalo 0 ,   1 que é o nosso intervalo que contém a raiz.

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