Encontre a derivada da função:

y = sen(tan(2x))

Passo 1

Fala aí! como vai?

Temos a função:

y = s i n ⁡ ( t a n ⁡ ( 2 x ) )

E queremos encontrar sua derivada em relação a x .

Como vamos resolver isso?

Vamos aplicar a regra da cadeia — aquela que usamos quando temos uma função dentro de outra.Aqui temos três camadas de funções:

  1. A mais externa é o s i n ⁡ ( ⋅ ) ;
  2. Dentro dela temos t a n ⁡ ( ⋅ ) ;
  3. E dentro da tangente temos o 2 x .

Então, vamos derivar de fora pra dentro, multiplicando as derivadas passo a passo.

Bora!

Passo 2

Então como vimos no passo 1, primeiro vamos chamar u = tan ⁡ 2 x e calcular a derivada de sin ⁡ u em relação a u pela regra da cadeia...

d y d x = d sin ⁡ u d u d u d x

Mas se u = tan ⁡ 2 x , temos:

d y d x = d sin ⁡ u d u d tan ⁡ 2 x d x

Na derivada da tangente, temos que aplicar a regra da cadeia novamente.

Agora vamos chamar v = 2 x , ficando:

d y d x = d sin ⁡ u d u d tan ⁡ v d v d v d x

Substituindo v em d v / d x :

d y d x = d sin ⁡ u d u d tan ⁡ v d v d 2 x d x

Massa, né?

Passo 3

Pela regra da potência, temos que:

d 2 x d x = 2 1 x 1 - 1 = 2

Já pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos:

d sin ⁡ u d u = cos ⁡ u

E também:

d tan ⁡ v d v = sec 2 ⁡ v

Substituindo tudo isso em d y / d x :

d y d x = cos ⁡ u ⋅ sec 2 ⁡ v ⋅ 2

E por fim, voltando u e v para x :

d y d x = cos ⁡ tan ⁡ 2 x ⋅ sec 2 ⁡ 2 x ⋅ 2

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

d y d x = cos ⁡ tan ⁡ 2 x ⋅ sec 2 ⁡ 2 x ⋅ 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados