Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 35
Um corpo em uma mola vibra horizontalmente sobre uma superfície lisa (veja a figura). Sua equação de movimento é , onde está em segundos e , em centímetros.
(a) Encontre a velocidade e a aceleração no instante .
(b) Encontre a posição, velocidade e aceleração do corpo no instante . Em que sentido ele está se movendo nesse instante?
Passo 1
Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função que descreve a equação do movimento de um corpo em uma mola que vibra horizontalmente sobre uma superfície lisa:
Onde está em segundos e , em centímetros.
Queremos encontrar a velocidade e a aceleração no instante .
Para isso, temos que saber que a velocidade é a taxa com que se varia a posição da partícula () em um dado momento, ou seja, a derivada da posição em relação ao tempo.
E, do mesmo modo, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Depois, temos que substituir nas três equações e analisar o sentido ele está se movendo nesse instante.
As derivadas trigonométricas são tabeladas, você vai ter que lembrar delas, mas com a prática você aprende todas. Nessa atividade a gente vai utilizar:
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a equação da velocidade.
Para isso, sabemos que:
Portanto, substituindo , temos:
Como podemos retirar uma constante de dentro da derivada, temos:
Aplicando a derivada do seno temos:
Passo 3
Agora, para a aceleração, temos que:
Assim, substituindo , temos:
Novamente retiramos a constante da derivada e aplicamos a derivada do cosseno:
Passo 4
No instante , a posição é:
No instante , a velocidade é:
E a aceleração, por sua vez é dada por:
Está se movendo para a esquerda porque a velocidade é negativa, o que neste caso representa a direção esquerda.
Resposta
(a) e
(b) , e . O corpo está se movendo no sentido negativo de , ou seja, está “voltando”.