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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.2 - Ex. 37

Expresse f como uma composição de duas funções; isto é, encontre g e h tais que f = g ∘ h. [Nota: Cada exercício tem mais de uma solução.]

(a) f x = x + 2

(b) f x = x 2 - 3 x + 5

Passo 1

A ideia aqui é pensar quais contas a gente faz quando precisamos saber o valor da função em um ponto específico. E, então, associamos cada etapa a uma função diferente. Vamos ver melhor na prática!

Passo 2

(a) Em f x = x + 2 , se tivermos um valor x = 0 , por exemplo, quais contas faríamos para chegar no valor da função nesse ponto, isto é, em f ( 0 ) ?

Primeiro, acharíamos o valor de 0 + 2 , que é o termo dentro da raiz. Depois, acharíamos a raiz do resultado anterior, certo?

Então, são duas etapas: primeiro, passamos pelo x + 2 e depois pela raiz desse cara, certo?

Podemos, então, associar essas etapas a duas funções que façam o mesmo:

g x = x + 2

E

h x = x

Dessa forma, f ( x ) pode ser escrita como:

f x = g ( x )

Associando h :

f x = h g x

Ou seja:

f x = h ∘ g

Passo 3

(b) E em f x = x 2 - 3 x + 5 ? Pelo mesmo raciocínio da letra anterior: primeiro, acharíamos o valor de x 2 - 3 x + 5 e depois calcularíamos o módulo do resultado, certo?

Então, podemos associar a essas duas funções:

g x = x 2 - 3 x + 5

E

h x = x

Dessa forma, f ( x ) pode ser escrita como:

f x = g ( x )

Associando h :

f x = h g x

Ou seja:

f x = h ∘ g

Resposta

(a) h ∘ g , h x = x e g x = x + 2

(b) h ∘ g , h x = x e g x = x 2 - 3 x + 5

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