Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 11

Expresse a função como a soma de uma série de potências usando primeiro frações parciais. Encontre o intervalo de convergência.

Passo 1

Faaaaala galerinha, tudo bem? Vamos iniciar!?

Bom, vamos compreender o enunciado. Precisamos aplicar frações parciais na função e expressa-la como uma soma de série de potência. Por fim, apresentar o intervalo de convergência da série.

Quais as etapas a serem feitas? Vamos destrinchar isso. A primeira etapa é escrever em frações parciais, certo? Depois vamos analisar as funções, e tentar comparar com uma série conhecida (a serie geométrica).

Assim, deve ficar com essa carinha:

Por fim, analisamos a série de potência e determinamos o intervalo de convergência. Também vale lembrar, que a convergência da série geométrica ocorre para o módulo da razão menor que um:

Sabendo disso, bora colocar mão na massa!?

Passo 2

Galera, precisamos transformar a cara dessa função pra uma série de potências, mas primeiro, temos que dar uma ajeitada nela, usando frações parciais.

A gente pode começar fatorando o denominador:

Como os fatores são todos de primeiro grau, nossa decomposição em frações parciais ficará mais ou menos assim:

sendo e constantes.

Agora, vamos desenvolver o lado direito, pra achar uma equação mais explícita com e :

Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:

Fazendo igualdade de polinômios termo a termo, chegamos a duas equações:

Resolvendo esse sisteminha, chegamos a e , o que nos dá:

Passo 3

Show pessoal!

Agora que tal a gente reescrever a função assim:

Tá, mas porque fizemos isso? Você lembra que queríamos deixar a expressão com a seguinte cara

Fizemos isso, porque conhecemos essa relação como a soma de uma série geométrica, que tem a seguinte expressão

Onde, é o primeiro termo e a razão.

Agora, vamos voltar para nossa expressão

Veja que a expressão da função pode ser entendida como a soma de duas séries geométricas: uma com primeiro termo e razão , e a outra com primeiro termo e razão , ou seja:

E isso nos dá exatamente a série de potência:

Passo 4

Beleza até aqui pessoal! Bora achar o intervalo de convergência agora!

Vamos lembrar da convergência de uma série geométrica. Sabemos que ela ocorre para o módulo da razão menor que um:

Pra descobrir qual é o intervalo de convergência, vamos avaliar a razão de cada uma na expressão acima.

Como a razão da primeira era e a razão da outra era , calculamos os intervalos assim:

Observe que temos dois intervalos, porém devemos escolher o intervalo para convergência. Isso ocorre porque o intervalo não está compreendido na expressão de razão .