Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 37
Mostre que, se onde , então o raio de convergência da série de potências é .
Passo 1
Fala, galera! Tudo beleza?
Sei que você tá quase pirando, mas vamos com calma.
A questão pede pra gente analisar o, que precisa ser , e assim garantir que o raio da convergência da série de potência seja .
Olha só, pra tentar chegar no raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Raiz na série:
Primeiro, vamos relembrar esse teste!
Se , então a série diverge.
Se , a série é (absolutamente) convergente.
E se , nada podemos afirmar, hein? Inconclusivo.
Passo 2
Vamos aplicar o Teste da Razão?
Sendo nosso , então:
Aquele ali podemos colocar como uma raiz para eliminarmos o :
Show! Para haver convergência, o limite do passo anterior deve ser menor do que , como te expliquei lá em cima.
Portanto:
Logo, o raio de convergência se confirma!