7. lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 x 2 + y 2

Passo 1

E aí, vamos resolver esse limite?!

Então cara, pra gente resolver isso aí, podemos tentar resolver como se fosse um limite normal. Vamos substituir x , y = ( 0 , 0 ) na função, assim:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 x 2 + y 2 = 0 0

Isso nos dá um problema, né? Bom, mas temos como desviar desse problema! Vamos testar caminhos diferentes para esse limite. Caso o limite dependa do caminho que a gente pegue, esse limite não existirá!

Como assim? Vamos testar o caminho das retas y = m x , beleza? Onde m é um número qualquer. Dessa forma:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 x 2 + m 2 x 2

Podemos colocar x 2 em evidência:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 x 2 ( 1 + m 2 ) = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ 1 1 + m 2 = 1 1 + m 2

Opa! Repare que temos um limite dependente do coeficiente m , certo?? Logo, se variarmos a reta que pegarmos, o limite mudará de valor também! Portanto, podemos dizer que o limite não existe!

Resposta

Não existe.

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