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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 7

7. underset((x , y) -> ( 0,0 ))(lim) (x^2)/(x^2 + y^2)

Passo 1

E aí, vamos resolver esse limite?!

Então cara, pra gente resolver isso aí, podemos tentar resolver como se fosse um limite normal. Vamos substituir (x , y) = ( 0 , 0 ) na função, assim:

underset((x , y) -> ( 0,0 ))(lim) (x^2)/(x^2 + y^2) = (0)/(0)

Isso nos dá um problema, né? Bom, mas temos como desviar desse problema! Vamos testar caminhos diferentes para esse limite. Caso o limite dependa do caminho que a gente pegue, esse limite não existirá!

Como assim? Vamos testar o caminho das retas y = m x , beleza? Onde m é um número qualquer. Dessa forma:

underset((x , y) -> ( 0,0 ))(lim) (x^2)/(x^2 + m^2 x^2)

Podemos colocar x^2 em evidência:

underset((x , y) -> ( 0,0 ))(lim) (x^2)/(x^2 ( 1 + m^2 )) = underset((x , y) -> ( 0,0 ))(lim) (1)/(1 + m^2) = (1)/(1 + m^2)

Opa! Repare que temos um limite dependente do coeficiente m , certo?? Logo, se variarmos a reta que pegarmos, o limite mudará de valor também! Portanto, podemos dizer que o limite não existe!

Resposta

Não existe.

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Verificar se os seguintes limites existem:a) lim x → 0 y → 0 ⁡ 2 y x + y
Mostrar que os limites não existem:d) lim x → 0 y → 0 ⁡ x y x 2 + y 2
Verificar se os seguintes limites existem:c) lim x → 0 y → 0 ⁡ x y x 3 + y 2
Mostrar que os limites não existem:f) lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 - 4 y 2 x 2 + y 2
Mostrar que os limites não existem:h) lim x → 1 y → 0 ⁡ x - 1 2 y x - 1 4 + y 2