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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.4 - Ex. 36b

Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular de 50m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de e - r metros por hora a uma distância de r metros do pulverizador.

  1. Se 0 < R ≤ 50 , qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro do círculo de raio R centrada no pulverizador?
  2. Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio R.

Passo 1

Para podermos resolver a questão, precisamos lembrar primeiramente como calculamos o valor médio dentro de uma região. O mesmo é expresso por:

μ = ∬ D f x , y d A ∬ D d A

Portanto, precisamos resolver duas integrais. Como estamos trabalhando com uma região circular de raio R, dado por x 2 + y 2 = R 2 , é conveniente descrevermos ela através de coordenadas polares. Portanto, a nossa região, em coordenadas polares, é dada por:

0 ≤ r ≤ R

0 ≤ θ ≤ 2 π

Como a nossa função já é escrita em coordenadas polares, então, o seu valor médio será calculado através da seguinte relação:

  μ = ∬ D e - r r d r d θ ∬ D r d r d θ = ∬ D e - r d r d θ ∬ D r d r d θ

Passo 2

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Começando pela integral do numerador, temos:

∬ D e - r r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 R e - r r d r d θ

Para podermos resolver esta integral, precisamos utilizar a técnica de integral por partes. Sejam u = r e d v = e - r d r , então, d u = d r e v = - e - r . Portanto,

∫ e - r r d r = - r e - r - ∫ - e - r d r = - r e - r - e - r

Desta forma,

∫ 0 2 π ∫ 0 R e - r r d r d θ = ∫ 0 2 π - r e - r - e - r 0 R d θ

∫ 0 2 π - R e - R - e - R + 1 d θ = 2 π 1 - R e - R - e - R

Já a integral do denominador, temos:

∬ D r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 R r d r d θ = π R 2

Portanto, o valor médio é dado por:

μ = 2 π 1 - R e - R - e - R π R 2 = 2 1 - R e - R - e - R R 2

Resposta

V a l o r   m é d i o = 2 1 - R e - R - e - R R 2

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Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região interior a ambos os círculos r = s e nθ e r = cos ⁡ θ .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R y e xd A , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 25 .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região dentro do círculo r = 1 + cos ⁡ θ e r = 3 cos ⁡ θ .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ D xd A Onde D é a região no primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 2 x .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região delimitada pela curva r = 4 + 3 cos ⁡ θ .