Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular de 50m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de metros por hora a uma distância de metros do pulverizador.
- Se , qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro do círculo de raio R centrada no pulverizador?
- Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio R.
Passo 1
A quantidade total de água dentro da região vai ser dada por:
Sendo a região circular de raio R. Portanto, os limites de integração são:
Observem que a função dada já foi expressa em coordenadas polares. Portanto, . Logo, só nos basta calcular:
Passo 2
Para podermos resolver esta integral, precisamos utilizar a técnica de integral por partes. Sejam e , então, e . Portanto,
Desta forma,
Logo,
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Encontre o valor médio da função f x , y = 1 / x 2 + y 2 na região anular a 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ b 2 onde 0ab .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.9. ∬ R sen x 2 + y 2 d A , onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 3.
Avalie a integral dada mudando para coordenadas polares. ∬ D x 2 yd A , onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5 .
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a. ∫ π 3 π / 4 ∫ 1 2 rd rd θ
Seja D o disco com centro na origem e raio a. Qual é a distância média dos pontos em D em relação à origem?