Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular de 50m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de e^(-r) metros por hora a uma distância de r metros do pulverizador.

  1. Se 0 < R ≤ 50 , qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro do círculo de raio R centrada no pulverizador?
  2. Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio R.

Passo 1

A quantidade total de água dentro da região vai ser dada por:

∬ D f r , θ d A

Sendo D a região circular de raio R. Portanto, os limites de integração são:

0 ≤ r ≤ R = 50

0 ≤ θ ≤ 2 π

Observem que a função dada já foi expressa em coordenadas polares. Portanto, f r , θ = e - r . Logo, só nos basta calcular:

∫ 0 2 π ∫ 0 50 e - r r d r d θ

Passo 2

Para podermos resolver esta integral, precisamos utilizar a técnica de integral por partes. Sejam u = r e d v = e - r d r , então, d u = d r e v = - e - r . Portanto,

∫ e - r r d r = - r e - r - ∫ - e - r d r = - r e - r - e - r

Desta forma,

∫ 0 2 π ∫ 0 50 e - r r d r d θ = ∫ 0 2 π - r e - r - e - r 0 50 d θ

∫ 0 2 π - 50 e - 50 - e - 50 + 1 d θ = 2 π 1 - 50 e - 50 - e - 50

Logo,

Q u a n t i d a d e   d e   á g u a   f o r n e c i d a = 2 π 1 - 50 e - 50 - e - 50  

Resposta

Q u a n t i d a d e   d e   á g u a   f o r n e c i d a = 2 π 1 - 50 e - 50 - e - 50  

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