Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular de 50m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de metros por hora a uma distância de metros do pulverizador.
- Se , qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro do círculo de raio R centrada no pulverizador?
- Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio R.
Passo 1
A quantidade total de água dentro da região vai ser dada por:
Sendo a região circular de raio R. Portanto, os limites de integração são:
Observem que a função dada já foi expressa em coordenadas polares. Portanto, . Logo, só nos basta calcular:
Passo 2
Para podermos resolver esta integral, precisamos utilizar a técnica de integral por partes. Sejam e , então, e . Portanto,
Desta forma,
Logo,