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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 9

Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural.

∫ 1 5 - e - 2 t   d t

Passo 1

A questão pede para expressarmos a integral em termos de funções hiperbólicas. Note que não é pedido para calcularmos a integral, devemos apenas expressar o resultado em termos das funções hiperbólicas. Para isso, você precisa dar uma olhada no teorema 9.8.4.

Neste caso, temos

I = ∫ 1 5 - e - 2 t   d t

Precisamos transformar essa integral em uma integral do tipo das fórmulas do teorema 9.8.4. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador por e t :

I = ∫ e t e t 5 - e - 2 t   d t

Colocando e t para dentro da raiz:

I = ∫ e t e 2 t ( 5 - e - 2 t )   d t = ∫ e t 5 e 2 t - 1   d t = ∫ e t 5 e t 2 - 1   d t

Chamando u = 5 e t , temos que

d u 5 = e t   d t

Assim,

I = 1 5 ∫ 1 u 2 - 1

Passo 2

Note que essa é exatamente uma das integrais do teorema 9.8.4:

∫ 1 u 2 - a 2   d u = cosh - 1 ⁡ u a + C = ln ⁡ u + u 2 - a 2 + C

Usando a = 1 :

I = 1 5 cosh - 1 ⁡ u + C = 1 5 ln ⁡ u + u 2 - 1 + C

Lembrando que u = 5 e t , temos que

I = 1 5 cosh - 1 ⁡ 5 e t + C = 1 5 ln ⁡ 5 e t + 5 e 2 t - 1 + C

Resposta

1 5 cosh - 1 ⁡ 5 e t + C = 1 5 ln ⁡ 5 e t + 5 e 2 t - 1 + C

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