A tabela fornece os valores de uma função obtidos experimentalmente. Use-os para estimar ∫ 0 6 f x d x utilizando três subintervalos iguais com (a) extremos direitos, (b) extremos esquerdos e (c) pontos médios. Se for sabido que a função é decrescente, você pode dizer se suas estimativas são menores ou maiores que o valor exato da integral?

Passo 1

Olá, meu querido e nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui iremos utilizar a soma de Riemann com os 3 tipos de intervalos para estimar o valor da integral.

Lembre-se que quando utilizamos a soma de Riemann, dividimos a área abaixo do gráfico com retângulos. A base é formada por dois valores, chamaremos de x 1 e x 2 e x 2 > x 1 . Quando escolhermos o método a direita, estaremos escolhendo o lado direito do retângulo e consequentemente o ponto x 2 , para a esquerda estaremos escolhendo x 1 e para o ponto médio, estaremos escolhendo x 1 + x 2 2 .

Passo 2

(a) A integral ∫ 0 6 f x d x aproximada pela soma de Riemann para o intervalo dado é feita da seguinte maneira:

  ∫ 0 6 f x d x ≈ ∑ i = 1 3 f x i * Δ x

Onde x i * é um valor de x que está dentro do intervalo, e depende de qual aproximação iremos usar. O valor do tamanho Δ x dos intervalos pode ser calculado da seguinte maneira:

Δ x = 6 - 0 3 = 2

Para a aproximação em extremos direitos, usamos como x i * o valor no final do intervalo. Por exemplo, no primeiro intervalo ( 0 ,   2 ) usamos f ( 2 ) . Temos então:

S = 2 f 2 + f 4 + f 6

= 2 8,3 + 2,3 - 10,5

= 2 0,1

= 0,2

Passo 3

(b) Para aproximar com extremos esquerdos, usamos os valores no início de cada intervalo:

Δ x = b - a n = 6 - 0 3 = 2

S = 2 f 0 + f 2 + f 4

= 2 9,3 + 8,3 + 2,3

= 2 19,9

= 39,8

Passo 4

(c) Agora calculamos utilizando os pontos médios de cada intervalo:

Δ x = b - a n = 6 - 0 3 = 2

S = 2 f 1 + f 3 + f 5

= 2 9 + 6,5 - 7,6

= 2 7,9

= 15,8

Se sabemos que a função é decrescente, ao fazer a soma com extremos esquerdos estamos obtendo valores que são maiores que os valores reais da integral, uma superestimativa. Ao pegar extremos direitos, estamos subestimando o valor da integral. Ao pegar pontos médios, podemos estar subestimanso ou superestimando o valor da integral.

Resposta

  1. S = 0,2
  2. S = 39,8
  3. S = 15,8
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