Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 8
A tabela fornece os valores de uma função obtidos experimentalmente. Use-os para estimar utilizando três subintervalos iguais com (a) extremos direitos, (b) extremos esquerdos e (c) pontos médios. Se for sabido que a função é decrescente, você pode dizer se suas estimativas são menores ou maiores que o valor exato da integral?
Passo 1
Olá, meu querido e nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.
Aqui iremos utilizar a soma de Riemann com os 3 tipos de intervalos para estimar o valor da integral.
Lembre-se que quando utilizamos a soma de Riemann, dividimos a área abaixo do gráfico com retângulos. A base é formada por dois valores, chamaremos de e e . Quando escolhermos o método a direita, estaremos escolhendo o lado direito do retângulo e consequentemente o ponto , para a esquerda estaremos escolhendo e para o ponto médio, estaremos escolhendo .
Passo 2
(a) A integral aproximada pela soma de Riemann para o intervalo dado é feita da seguinte maneira:
Onde é um valor de que está dentro do intervalo, e depende de qual aproximação iremos usar. O valor do tamanho dos intervalos pode ser calculado da seguinte maneira:
Para a aproximação em extremos direitos, usamos como o valor no final do intervalo. Por exemplo, no primeiro intervalo usamos . Temos então:
Passo 3
(b) Para aproximar com extremos esquerdos, usamos os valores no início de cada intervalo:
Passo 4
(c) Agora calculamos utilizando os pontos médios de cada intervalo:
Se sabemos que a função é decrescente, ao fazer a soma com extremos esquerdos estamos obtendo valores que são maiores que os valores reais da integral, uma superestimativa. Ao pegar extremos direitos, estamos subestimando o valor da integral. Ao pegar pontos médios, podemos estar subestimanso ou superestimando o valor da integral.