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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 18

Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado.

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n e x i 1 + x i Δ x ,       [ 1 ,   5 ]

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Nessa questão temos o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n e x i 1 + x i Δ x

E devemos expressa-lo como uma integral definida no interval dado:

[ 1,5 ]

Pela definição, a integral de uma função f ( x ) em um intervalo [ a , b ] pode ser representada por uma soma de Riemann com número de intervalos tendendo ao infinito, da seguinte maneira:

[ I = ∫ a b f x   d x ]

onde ( a ) representa o limite inferior de integração, b representa o limite superior de integração, f x é a função subintegral, e a , b é o intervalo.

A definição do limite da integral definida é

∫ a b f x   d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

onde

[ Δ x = b - a n ,   x i = a + i Δ x ]

Passo 2

Comparando então com a fórmula dada no enunciado, temos que nossa função é:

f x = e x 1 + x

E nosso intervalo [ a ,   b ] é [ 1 ,   5 ] . Então a soma é igual à integral a seguir:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n e x i 1 + x i Δ x = ∫ 1 5 e x 1 + x d x

Onde Δ x e x i valem:

Δ x = b - a n = 5 - 1 n

Δ x = 4 n

x i = a + i Δ x

x i = 1 + 4 i n

Resposta

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n e x i 1 + x i Δ x = ∫ 1 5 e x 1 + x d x

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