Enunciado

Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado.

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n x i sen ⁡ x i Δ x ,       [ 0 ,   π ]

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Pela definição, a integral de uma função f ( x ) em um intervalo [ a ,   b ] pode ser representada por uma soma de Riemann com número de intervalos tendendo ao infinito, da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x

Passo 2

Comparando então com a fórmula dada no enunciado, temos que nossa função é:

f x = x sen ⁡ x

E nosso intervalo [ a ,   b ] é [ 0 ,   π ] . Então a soma é igual à integral a seguir:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n x i sen ⁡ x i Δ x = ∫ 0 π x sen ⁡ x d x ,       [ 0 ,   π ]

Resposta

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n x i sen ⁡ x i Δ x = ∫ 0 π x sen ⁡ x d x

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