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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 5

int (x^2 + x + 1)/(( 2 x + 1 ) ( x^2 + 1 )) d x

Passo 1

Vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

int (x^2 + x + 1)/(( 2 x + 1 ) ( x^2 + 1 )) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(x^2 + x + 1)/(( 2 x + 1 ) ( x^2 + 1 )) = (A x + B)/(( x^2 + 1 )) + (C)/(( 2 x + 1 ))

Isolando x^2 + x + 1 , vamos achar

x^2 + x + 1 = ( A x + B ) (2 x + 1) + C (x^2 + 1) = 2 A x^2 + A x + 2 B x + B + C x^2 + C

x^2 + x + 1 = (2 A + C) x^2 + (A + 2 B) x + B + C

Que nos dá o seguinte sisteminha

{[[2 A + C = 1],[A + 2 B = 1],[B + C = 1]])

Na terceira equação C = 1 - B . Substituindo isso na primeira vamos ter 2 A + (1 - B) = 1

2 A = B

Jogando isso na segunda equação

A + 2 (2 A) = 1 -> 5 A = 1 -> A = (1)/(5)

E voltando

B = 2 A = (2)/(5)

E

C = 1 - B = 1 - (2)/(5) = (3)/(5)

Em resumo:

A = (1)/(5) ; B = (2)/(5) ; C = (3)/(5) ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

(x^2 + x + 1)/(( 2 x + 1 ) ( x^2 + 1 )) = ((1)/(5) x + (2)/(5))/(( x^2 + 1 )) + ((3)/(5))/(( 2 x + 1 ))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (x^2 + x + 1)/(( 2 x + 1 ) ( x^2 + 1 )) d x = int ((1)/(5) x + (2)/(5))/(( x^2 + 1 )) d x + int ((3)/(5))/(( 2 x + 1 )) d x

int (x^2 + x + 1)/(( 2 x + 1 ) ( x^2 + 1 )) d x = (1)/(5) int (x d x)/(x^2 + 1) + (2)/(5) int (d x)/(x^2 + 1) + (3)/(5) int (d x)/(2 x + 1)

Agora temos que calcular cada ums desses termos.

O primeiro a gente resolve por substituição, fazendo

u = x^2 + 1 -> d u = 2 x d x

int (x d x)/(x^2 + 1) = int (d u // 2)/(u) = (1)/(2) ln u = (1)/(2) ln (x^2 + 1)

O segundo, a gente olha na tabela de integrais fundamentais e vê que essa integral é arcotangente

int (d x)/(x^2 + 1) = arctan x

E o último a gente faz uma outra substituição simples

v = 2 x + 1 -> d v = 2 d x

int (d x)/(2 x + 1) = int (d v // 2)/(v) = (1)/(2) ln v = (1)/(2) ln (2 x + 1)

Passo 4

Agora, juntando tudo

int (x^2 + x + 1)/(( 2 x + 1 ) ( x^2 + 1 )) d x = (1)/(5) int (x d x)/(x^2 + 1) + (2)/(5) int (d x)/(x^2 + 1) + (3)/(5) int (d x)/(2 x + 1)

int (x^2 + x + 1)/((2 x + 1) (x^2 + 1)) d x = (1)/(5) (1)/(2) ln (x^2 + 1) + (2)/(5) arctan x + (3)/(5) (1)/(2) ln (2 x + 1)

int (x^2 + x + 1)/(( 2 x + 1 ) ( x^2 + 1 )) d x = (1)/(10) ln (x^2 + 1) + (2)/(5) arctan x + (3)/(10) ln (2 x + 1)

Belezinha? 😉

Resposta

int (x^2 + x + 1)/(( 2 x + 1 ) ( x^2 + 1 )) d x = (1)/(10) ln (x^2 + 1) + (2)/(5) arctan x + (3)/(10) ln (2 x + 1)

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