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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 14

14) int (x + 1)/(x^2 + 9) d x

Passo 1

I = int (x + 1)/(x^2 + 9) d x

Analisando a integral, podemos pensar em dividir em frações parciais, mas as raízes dessa equação são complexas. Então vamos tentar outra coisa!

I = int (x + 1)/(x^2 + 9) d x = int (x)/(x^2 + 9) d x + int (1)/(x^2 + 9) d x = I_1 + I_2

Passo 2

Agora vamos resolver cada integral individualmente!

I_1 = int (x)/(x^2 + 9) d x

Considere a seguinte substituição de variável:

u = x^2 + 9

Derivando,

d u = 2 x d x -> (d u)/(2) = x d x

Nossa integral vai ficar assim:

I_1 = int (x)/(x^2 + 9) d x = int (1)/(u) * (d u)/(2) = (1)/(2) * int (d u)/(u)

Logo,

I_1 = (1)/(2) ln |u| + c_1

Como u = x^2 + 9

I_1 = (1)/(2) ln (x^2 + 9) + c_1

Passo 3

Para resolver a outra parcela:

I_2 = int (1)/(x^2 + 9) d x

Colocando o 9 em evidência:

I_2 = int (1)/(9 * ((x^2)/(9) + 1)) d x = (1)/(9) * int (1)/(((x^2)/(9) + 1)) d x = (1)/(9) * int (1)/(((x)/(3))^2 + 1) d x

Pra facilitar, podemos fazer a seguinte substituição:

u = (x)/(3)

Derivando,

d u = (d x)/(3)

Não esquece: int (d u)/(1 + u^2) = arctan (u) + c

Logo,

I_2 = (1)/(9) * int (1)/((u)^2 + 1) * 3 d u = (3)/(9) * int (d u)/(1 + u^2) = (1)/(3) * arctan (u) + c_2

Voltando para x :

I_2 = (1)/(3) * arctan ((x)/(3)) + c_2

Passo 4

Agora vamos finalizar!

I_1 = (1)/(2) ln (x^2 + 9) + c_1

I_2 = (1)/(3) * arctan ((x)/(3)) + c_2

Portanto,

I = I_1 + I_2 = (1)/(2) ln (x^2 + 9) + c_1 + (1)/(3) * arctan ((x)/(3)) + c_2

Juntando as constantes:

I = (1)/(2) ln (x^2 + 9) + (1)/(3) * arctan ((x)/(3)) + c

Resposta

(1)/(2) ln (x^2 + 9) + (1)/(3) * arctan ((x)/(3)) + c

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