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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 12

12) int (x^3 + x + 1)/(x^2 - 4 x + 3) d x

Passo 1

I = int (x^3 + x + 1)/(x^2 - 4 x + 3) d x

Analisando a integral, vemos que é interessante quebrar em frações parciais. Mas antes temos que dividir os polinômios para o grau do numerador ficar menor do que o do denominador!!

Fazendo a divisão, as coisas ficam assim:

Logo,

x^3 + x + 1 = (x^2 - 4 x + 3) * (x + 4) + ( 14 x - 11 )

Passo 2

Nossa integral era assim:

I = int (x^3 + x + 1)/(x^2 - 4 x + 3) d x

E vai ficar assim:

I = int ((x^2 - 4 x + 3) * (x + 4) + ( 14 x - 11 ))/(x^2 - 4 x + 3) d x = int (x + 4) d x - int (14 x - 11)/(x^2 - 4 x + 3) d x

Resolvendo a primeira parcela:

I_1 = int (x + 4) d x = (x^2)/(2) + 4 x + c_1

Essa segunda é casca grossa, então vamos com calma!

I_2 = int (14 x - 11)/(x^2 - 4 x + 3) d x

O termo que queremos integrar é o seguinte:

E = (14 x - 11)/(x^2 - 4 x + 3) = (14 x - 11)/((x - 1) * ( x - 3 )) ( * )

Nesse caso é um pouco diferente, pois temos um termo ao quadrado no denominador! A técnica é assim ó:

E = (14 x - 11)/((x - 1) * ( x - 3 )) = (A)/(x - 1) + (B)/(x - 3) ( * )

Deixando os denominadores iguais:

E = (A)/(x - 1) + (B)/(x - 3) = (A)/(x - 1) * (x - 3)/(x - 3) + (B)/(x - 3) * (x - 1)/(x - 1)

Fazendo as distributivas:

E = (A x - 3 A + B x - B)/((x - 1) * ( x - 3 ))

Voltando para ( * ) ,

(14 x - 11)/((x - 1) * ( x - 3 )) = (x ( A + B ) - 3 A - B)/((x - 1) * ( x - 3 ))

Agora é só comparar os coeficientes do numerador:

14 * x - 11 = x ( A + B ) - 3 A - B

{[[A + B = 14 ( i )],[- 3 A - B = - 11 ( i i )]])

De ( i ) :

A = 14 - B

Substituindo em ( i i ) :

- 3 * (14 - B) - B = - 11 -> 2 B = 31

Logo,

B = (31)/(2) ; A = - (3)/(2)

Passo 3

Vamos resolver a I_2

Antes era assim:

I_2 = int (14 x - 11)/(x^2 - 4 x + 3) d x

E vai ficar assim:

I_2 = int (((- (3)/(2)))/(x - 1) + (((31)/(2)))/(x - 3)) d x = - (3)/(2) * int (1)/(x - 1) d x + (31)/(2) * int (1)/(x - 3) d x

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln |x| + c

Agora pra acabar!!

I_2 = - (3)/(2) * ln |x - 1| + (31)/(2) * ln |x - 3| + c_2

Juntando tudo:

I = I_1 + I_2 = (x^2)/(2) + 4 x + c_1 - (3)/(2) * ln |x - 1| + (31)/(2) * ln |x - 3| + c_2

Juntando as constantes:

I = (x^2)/(2) + 4 x - (3)/(2) * ln |x - 1| + (31)/(2) * ln |x - 3| + c

Resposta

(x^2)/(2) + 4 x - (3)/(2) * ln |x - 1| + (31)/(2) * ln |x - 3| + c

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