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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 11

11) int (x^3 + x + 1)/(x^2 - 2 x + 1) d x

Passo 1

I = int (x^3 + x + 1)/(x^2 - 2 x + 1) d x

Analisando a integral, vemos que é interessante quebrar em frações parciais. Mas antes temos que dividir os polinômios para o grau do numerador ficar menor do que o do denominador!!

Fazendo a divisão, as coisas ficam assim:

Logo,

x^3 + x + 1 = (x^2 - 2 x + 1) * (x + 2) + ( 4 x - 1 )

Passo 2

Nossa integral era assim:

I = int (x^3 + x + 1)/(x^2 - 2 x + 1) d x

E vai ficar assim:

I = int ((x^2 - 2 x + 1) * (x + 2) + ( 4 x - 1 ))/(x^2 - 2 x + 1) d x = int (x + 2) d x + int (4 x - 1)/(x^2 - 2 x + 1) d x = I_1 + I_2

Resolvendo a primeira parcela:

I_1 = int (x + 2) d x = (x^2)/(2) + 2 x + c_1

Essa segunda é um pouco cascuda, então vamos com calma!

I_2 = int (4 x - 1)/(x^2 - 2 x + 1) d x

O termo que queremos integrar é o seguinte:

E = (4 x - 1)/(x^2 - 2 x + 1) = (4 x - 1)/((x - 1)^2) ( * )

Nesse caso é um pouco diferente, pois temos um termo ao quadrado no denominador! A técnica é assim ó:

E = (4 x - 1)/(x^2 - 2 x + 1) = (A)/(x - 1) + (B)/((x - 1)^2) ( * )

Deixando os denominadores iguais:

(A)/(x - 1) + (B)/((x - 1)^2) = (A)/(x - 1) * (x - 1)/(x - 1) + (B)/((x - 1)^2)

Fazendo as distributivas:

(A x - A + B)/((x - 1)^2)

Voltando para ( * ) ,

(4 x - 1)/((x - 1)^2) = (A x - A + B)/((x - 1)^2)

Agora é só comparar os coeficientes do numerador:

4 * x - 1 = A x - A + B

{[[A = 4 ( i )],[- A + B = - 1 ( i i )]])

De ( i ) :

A = 4

Substituindo em ( i i ) :

- (4) + B = - 1 -> B = 3

Logo,

B = 3 ; A = 4

Passo 3

Vamos resolver a I_2

Antes era assim:

I_2 = int (4 x - 1)/((x - 1)^2) d x

E vai ficar assim:

I_2 = int ((4)/(x - 1) + (3)/((x - 1)^2)) d x = 4 * int (1)/(x - 1) d x + 3 * int (1)/((x - 1)^2) d x = 4 * I_3 + 3 * I_4

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln |x| + c

I_3 = int (1)/(x - 1) d x = ln |x - 1| + c_3

Agora pra acabar!!

I_4 = int (1)/((x - 1)^2) d x

Chama u = x - 1 -> d u = d x :

I_4 = int (1)/((x - 1)^2) d x = int (1)/(u^2) d u = - (1)/(u) + c_4

Voltando para x :

I_4 = - (1)/(x - 1) + c_4

Juntando tudo:

I = I_1 + I_2 = I_1 + 4 * I_3 + 3 * I_4

I = ((x^2)/(2) - 2 x + c_1) + 4 * (ln |x - 1| + c_3) + 3 * (- (1)/(x - 1) + c_4)

Juntando as constantes:

I = (x^2)/(2) + 2 x + 4 * ln |x - 1| - 3 * ((1)/(x - 1)) + c

Resposta

(x^2)/(2) + 2 x + 4 * ln |x - 1| - (3)/(x - 1) + c

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Calcule a integral abaixo:48 –int (1)/(x sqrt(x + 9)) d x
13) int (1)/(x^2 + 5) d x
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9) int (x + 3)/(x^2 - x) d x
15) int (x^2 + 3)/(x^2 - 9) d x