Expresse o limite como uma integral definida no intervalo.

lim x → ∞ ⁡   ∑ i = 1 n   x i ln ⁡ 1 + x i 2 Δ x ,   [ 2,6 ]

Passo 1

Fala aí! Tudo bom?! Temos aqui uma questão direta e reta! O enunciado nos dá:

lim x → ∞ ⁡   ∑ i = 1 n   x i ln ⁡ 1 + x i 2 Δ x ,   [ 2,6 ]

E pede pra a gente reescrever esse carinha, na forma de uma integral definida onde o limite de integração é exatamente o intervalo dado , [ 2 , 6 ] .

A ideia dessa questão é garantir que você, meu caro gafanhoto, entendeu a “anatomia” e o significado da integral pela soma de Riemann!

Pela definição a integral pela soma de Riemann é dada por:

∫ a b f x   d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ( x i )   Δ x

Onde n é o número de subintervalos e Δ x e x i são dados por:

Δ x = b - a n  

x i = a + i Δ x

Traduzindo, o que essa fórmula geral tá dizendo é:

Eu tenho uma curva dada por f ( x ) , se eu dividir essa curva em um zilhão de retangulinhos e somar a área de todos esses mini retângulos, o meu resultado vai ser a integral dessa curva no intervalo dado! Podemos também perceber que, se n → ∞ , então Δ x → 0 , ou seja, quanto mais subintervalos eu tenho, mas fininho ele vai ser!

Pra resolver esse problema a gente vai precisar olhar pro enunciado, reconhecer quem é f ( x i ), quais são os limites de integração e montar a integral definida!

É realmente só isso ;)

Passo 2

Vamos trazer o somatório pra pertinho da gente:

lim x → ∞ ⁡   ∑ i = 1 n   x i ln ⁡ 1 + x i 2 Δ x ,   [ 2,6 ]

Temos que:

f x i = x i ln ⁡ 1 + x i 2

Então:

f x = x l n 1 + x 2

Então podemos dizer que:

lim x → ∞ ⁡   ∑ i = 1 n   x i ln ⁡ 1 + x i 2 Δ x = ∫ 2 6   x l n 1 + x 2   d x  

Prontinho!

Resposta

lim x → ∞ ⁡   ∑ i = 1 n   x i ln ⁡ 1 + x i 2 Δ x = ∫ 2 6   x l n 1 + x 2   d x  

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