Use a definição 2 para achar uma expressão para a área sob o gráfico de f como um limite. Não calcule o limite.

f(x) = x^2 + raiz(1 + 2x), 4 ≤ x ≤ 7

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar uma expressão para a área sob o gráfico da função

f x = x 2 +   1 + 2 x  

como um limite, no intervalo [ 4 ,   7 ] , usando a definição 2 .

A definição 2 nos diz que:

A área da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes:

A = lim n → ∞ ⁡   R n =     l i m n → ∞   f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + ⋯ + f x n Δ x    

Então,

A = l i m n → ∞     ∑ i = 0 n   f x i Δ x

onde

Δ x = b - a n

Ou seja, se fizermos vários retângulos aproximantes com uma base bem fininha tendendo a zero, de modo que tenhamos infinitos desses retângulos e somarmos suas áreas, teremos algo muito próximo à área sob o gráfico da função.

Sendo assim, vamos substituir os dados da função na fórmula do somatório e estimar a área sob o gráfico.

Vamos lá!

Passo 2

Como o nosso intervalo é

4 ≤ x ≤ 7

temos

a = 4       e     b = 7

Dessa forma, vamos ter:

Δ x = 4 - 7 n = 3 n

Além disso, x i = a + i Δ x , então teremos:

x i = 4 + 3 i n

Agora aplicando x i em f x = x 2 +   1 + 2 x   , temos:

f x i = 4 + 3 i n 2 +   1 + 2 4 + 3 i n  

Então, substituindo na fórmula do somatório, junto com o Δ x , temos:

    l i m n → ∞     ∑ i = 0 n   f x i Δ x =   l i m n → ∞     ∑ i = 1 n 4 + 3 i n 2 +   1 + 2 4 + 3 i n ⋅ 3 n

E encontramos a expressão para a área sob o gráfico de f como um limite.

Como não precisa calcular o limite, essa é a nossa resposta final.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = l i m n → ∞     ∑ i = 1 n 4 + 3 i n 2 +   1 + 2 4 + 3 i n ⋅ 3 n

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