Enunciado

Expresse o limite como uma integral definida.

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 5

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho com você?

Bom, essa questão pede pra gente expressar esse limite aqui

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 5

Na forma de uma integral indefinida.

Para isso, precisamos lembra que a integral pode ser escrita na forma:

∫ a b f x   d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

E como

x i = a + i b - a n

e

Δ x = b - a n

Assim, teremos:

∫ a b f x   d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f a + i b - a n b - a n

Bora ver como fica nossa integral então.

Passo 2

Podemos ver que o valor de i foi elevado à quarta potência, então podemos considerar

f x = x 4

Então, se

b - a = 1

para e

a ≤ x ≤ b

podemos supor a = 0 e b = 1 para escrever a integral como:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 5 = ∫ 0 1 x 4   d x

E prontinho.

Resposta

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 5 = ∫ 0 1 x 4   d x

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