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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 20

Nos exercícios de 11 a 31, calcular as integrais indefinidas.

20. ∫ ( t + t + t 3 + t 4 + t 5 ) d t  

Passo 1

Queremos integrar a função f t =   ( t + t + t 3 + t 4 + t 5 ) .

Passo 2

Sabemos que a integral da soma é a soma das integrais, assim podemos reescrever da seguinte forma:

∫ ( t + t + t 3 + t 4 + t 5 ) d t   = ∫ t d t + ∫ t   d t + ∫ t 3   d t + ∫ t 4   d t + ∫ t 5   d t

Aqui, podemos reescrever de maneira que fique mais simples para integrar.

∫ ( t + t + t 3 + t 4 + t 5 ) d t   = ∫ t d t + ∫ t 1 2   d t + ∫ t 1 3   d t + ∫ t 1 4   d t + ∫ t 1 5   d t

Aqui, as integrais são conhecidas, dessa forma as integrais separadas são as seguintes:

∫ t d t = t 2 2

∫ t 1 2   d t = t 1 2 + 1 1 2 + 1 = 2 3 t 3 2

∫ t 1 3   d t = t 1 3 + 1 1 3 + 1 = 3 4 t 4 3

∫ t 1 4   d t = t 1 4 + 1 1 4 + 1 = 4 5 t 5 4

∫ t 1 5   d t = t 1 5 + 1 1 5 + 1 = 5 6 t 6 5

Temos então que:

∫ ( t + t + t 3 + t 4 + t 5 ) d t   = t 2 2 + 2 3 t 3 2 + 3 4 t 4 3 + 4 5 t 5 4 + 5 6 t 6 5 + c

Resposta

∫ ( t + t + t 3 + t 4 + t 5 ) d t   = t 2 2 + 2 3 t 3 2 + 3 4 t 4 3 + 4 5 t 5 4 + 5 6 t 6 5 + c

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