Expresse o limite como uma integral definida.

lim n → ∞ ⁡ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + i n 2

Passo 1

Oi queridos!

Nessa questão temos o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + i n 2

E queremos expressa-lo como uma integral definida.

Sabemos que a integral definida por definição é dada como um limite de um somatório:

∫ a b f x d x = l i m n → ∞ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Onde

Δ x = b - a n

E o valor x i pode ser qualquer valor dentro de um subintervalo. Geralmente usamos para ele:

x i = a + i Δ x

Sendo assim, temos:

∫ a b f x d x = l i m n → ∞ ∑ i = 1 n f a + i b - a n ⋅ b - a n

Passo 2

Tendo o limite:

lim n → ∞ ⁡ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + i n 2

Podemos passa o termo 1 n para dentro do somatório:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 1 + i n 2 × 1 n

Se tomarmos 1 n como sendo o Δ x , teremos:

Δ x = 1 n

b - a n = 1 n

Logo, temos:

b - a = 1

E se tomarmos 1 1 + i n 2 como sendo a função f ( x ) , temos:

f x i = 1 1 + i n 2

Por inspeção podemos acreditar que:

x i = i n

E que portanto a função é:

f x i = 1 1 + x i 2

E sabemos que:

x i = a + i Δ x

Sendo que:

x i = i n

E que

Δ x = 1 n

Logo,

i n = a + i n

Portanto, descobrimos que:

a = 0

Sendo assim, encontramos que:

b - a = 1

b = 1

Passo 3

Assim temos a função f 1 n = 1 1 + i n 2 pode ent��o ser definida de modo geral como

f x = 1 1 + x 2

E os intervalos de integração são a = 0 e b = 1 , logo, a integral definida é dada por:

lim n → ∞ ⁡ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + i n 2 = ∫ 0 1 1 1 + x 2   d x

Resposta

lim n → ∞ ⁡ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + i n 2 = ∫ 0 1 1 1 + x 2   d x

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