Expresse o limite como uma integral definida. lim n → ∞ ⁡ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + i n 2

lim n → ∞ ⁡ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + i n 2 = ∫ 0 1 1 1 + x 2d x

Enunciado

Oi queridos!

Nessa questão temos o seguinte limite:

E queremos expressa-lo como uma integral definida.

Sabemos que a integral definida por definição é dada como um limite de um somatório:

Onde

E o valor pode ser qualquer valor dentro de um subintervalo. Geralmente usamos para ele:

Sendo assim, temos:

Tendo o limite:

Podemos passa o termo para dentro do somatório:

Se tomarmos como sendo o , teremos:

Logo, temos:

E se tomarmos como sendo a função , temos:

Por inspeção podemos acreditar que:

E que portanto a função é:

E sabemos que:

Sendo que:

E que

Logo,

Portanto, descobrimos que:

Sendo assim, encontramos que:

Assim temos a função pode ent��o ser definida de modo geral como

E os intervalos de integração são e , logo, a integral definida é dada por: