Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 55
Expresse o número como uma razão de números inteiros.
Passo 1
Queremos escrever esse número como uma razão de números inteiros, certo? A primeira coisa que precisamos saber é que quando temos esse tra��o em cima de um número, isso indica que temos uma dízima. No nosso caso, o número que estamos lidando é:
Nesse tipo de questão a ideia é reescrevermos esse número como uma soma, ou seja, uma série.
Podemos separar partes que não se repetem de partes que se repetem, ou seja, a parte periódica do nosso número. Dá pra perceber que depois de os números se repetem sem parar. Vamos escrever em forma de soma:
Como se repete a cada 3 casas decimais, somamos esses números várias vezes sempre aumentando 3 zeros de um termo da soma para o outro.
Percebe que a partir do segundo termo, um termo é igual ao anterior multiplicado de . Lembra que tipo de série tem esse padrão de um termo multiplicado por uma razão fixa? A série geométrica!
Esse tipo de série converge se .
Por fim, esse tipo de série tem expressão pronta para cálculo da soma:
Reescrevendo dessa forma, basta que a gente encontre a soma dessa série, que vai ser justamente o valor que separamos em soma, mas dessa vez em forma de razão de números inteiros (ou seja, em forma de fração).
Vamos para nossa resolução?
Passo 2
Nossa série geométrica será:
Ou seja, temos aqui uma série geométrica de razão . Como a razão da série é menor que , temos que a série é convergente! É importante a convergência da série, afinal, ela precisa ter uma soma como um número finito nesse nosso caso, o que não acontece em séries divergentes.
Passo 3
Agora que sabemos que a série é convergente, vamos calcular a soma dela para determinarmos a razão dos números inteiros que geram essa dízima.
Lembra que temos uma série geométrica? Para o cálculo da soma podemos usar a equação dada no passo 1. Com e , podemos calcular:
Então, a soma da série geométrica com a parte inteira que separamos é:
Somando os dois termos em uma soma de frações:
Por fim ficaremos com:
Resposta
A razão de números inteiros é igual a: