Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 55

Expresse o número como uma razão de números inteiros.

Passo 1

Queremos escrever esse número como uma razão de números inteiros, certo? A primeira coisa que precisamos saber é que quando temos esse tra��o em cima de um número, isso indica que temos uma dízima. No nosso caso, o número que estamos lidando é:

Nesse tipo de questão a ideia é reescrevermos esse número como uma soma, ou seja, uma série.

Podemos separar partes que não se repetem de partes que se repetem, ou seja, a parte periódica do nosso número. Dá pra perceber que depois de os números se repetem sem parar. Vamos escrever em forma de soma:

Como se repete a cada 3 casas decimais, somamos esses números várias vezes sempre aumentando 3 zeros de um termo da soma para o outro.

Percebe que a partir do segundo termo, um termo é igual ao anterior multiplicado de . Lembra que tipo de série tem esse padrão de um termo multiplicado por uma razão fixa? A série geométrica!

Esse tipo de série converge se .

Por fim, esse tipo de série tem expressão pronta para cálculo da soma:

Reescrevendo dessa forma, basta que a gente encontre a soma dessa série, que vai ser justamente o valor que separamos em soma, mas dessa vez em forma de razão de números inteiros (ou seja, em forma de fração).

Vamos para nossa resolução?

Passo 2

Nossa série geométrica será:

Ou seja, temos aqui uma série geométrica de razão . Como a razão da série é menor que , temos que a série é convergente! É importante a convergência da série, afinal, ela precisa ter uma soma como um número finito nesse nosso caso, o que não acontece em séries divergentes.