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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 134

Definição recursiva de π 2 . Se você começar com x 1 = 1 e definir os termos subsequentes de { x n } pela regra x n   =   x n - 1   + cos ⁡ x n - 1 , você gerará uma sequência que converge rapidamente para π 2 . (a) Tente isso. (b) Use a figura a seguir para explicar por que a convergência é tão rápida.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

(a)

Para fins de aproximação, temos que π 2 ≈ 1.5708 . Usando a formula recursiva, temos que:

x 1 = 1

x 2 = 1 + c o s ⁡ ( 1 ) = 1.540302306

x 3 = 1.540302306 + c o s ⁡ ( 1.540302306 ) = 1.570791601

x 4 = 1.570791601 + c o s ⁡ ( 1.570791601 ) = 1.570796327

x 5 = 1.570796327 + c o s ⁡ ( 1.570796327 ) = 1.57079632 7

​

Como você pode ver, a convergência da sequência para π 2 é realmente muito rápida.

Passo 2

(b)

Da figura geométrica abaixo, sabemos que o arco azul representa o comprimento do arco de x n - 1 ​ e o arco vermelho representa o comprimento do arco de π 2 - x n - 1

Da mesma forma, o segmento de linha azul representa cos ⁡ x n - 1 . Como o comprimento do arco π 2 - x n - 1 ​ aproxima-se de π 2 , o segmento de reta cos ⁡ x n - 1 e o comprimento do arco π 2 - x n - 1 ​

aproxima-se de 0. Essa convergência é muito rápida porque cos ⁡ x n - 1 já é grande em relação a x 1 = 1 para começar, então depois de alguns passos, a sequência converge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a demonstração acima.

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