Expresse log_a(b) / log_b(a) como razão de logaritmo natural e simplifique.

Passo 1

Olá! Pra essa questão nós PRECISAMOS saber essa relação aqui: l o g a   x   =   l n   x l n   a , para todo a > 0 e a ≠ 1 . Olha só, tá vendo que na expressão que o exercício pediu pra simplificar (essa aqui l o g a   b l o g b   a ), temos log em cima e log embaixo da fração? Então a gente vai ter que fazer a relação separado pro que tá em cima e pro que tá embaixo. Isso a gente vai fazer no Passo 2.

Passo 2

Pro que tá em cima ( l o g a   b ) , a relação fica assim:

l o g a   b   =   l n   b l n   a

Pro que tá embaixo ( l o g b   a ) , a relação fica assim:

l o g b   a   =   l n   a l n   b

Passo 3

Agora, o exercício quer l o g a   b l o g b   a , né? Então vamos jogar as relações aí, assim:

l o g a   b l o g b   a   =     l n   b l n   a     l n   a l n   b  

Agora, usando a propriedade de divisão de frações… (é aquela do “repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda”)

l o g a   b l o g b   a =     l n   b l n   a   ⋅   l n   b l n   a

l o g a   b l o g b   a   = ( l n   b l n   a ) 2  

Resposta

( l n   b l n   a ) 2

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