Expresse log_2(x) / log_8(x) como razão de logaritmo natural e simplifique.

Passo 1

Olá! Pra essa questão nós PRECISAMOS saber essa relação aqui: l o g a   x   =   l n   x l n   a , para todo a > 0 e a ≠ 1 . Olha só, tá vendo que na expressão que o exercício pediu pra simplificar (essa aqui l o g 2   x l o g 8   x ), temos log em cima e log embaixo da fração? Então a gente vai ter que fazer a relação separado pro que tá em cima e pro que tá embaixo. Isso a gente vai fazer no Passo 2.

Passo 2

Pro que tá em cima ( l o g 2   x ) , a relação fica assim:

l o g 2   x   =   l n   x l n   2

Pro que tá embaixo ( l o g 8   x ) , a relação fica assim:

l o g 8   x   =   l n   x l n   8

Passo 3

Agora, o exercício quer l o g 2   x l o g 8   x , né? Então vamos jogar as relações aí, assim:

l o g 2   x l o g 8   x   =   l n   x l n   2 l n   x l n   8  

Agora, usando a propriedade de divisão de frações… (é aquela do “repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda”)

l o g 2   x l o g 8   x   =   l n   x l n   2   ⋅   l n   8 l n   x

Cortando o l n   x de cima com o de baixo…

l o g 2   x l o g 8   x   = l n   8 l n   2  

Mas repara que l n   8   = l n   2 3 =   3   l n   2 por causa da propriedade que desce o expoente que tá dentro do log. Então:

l n   8 l n   2   =   3   l n   2 l n   2   =   3

porque a gente corta o l n   2 de cima com o debaixo.

Resposta

3

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