Enunciado

  1. A figura abaixo mostra o gráfico de uma função f sobre seu domínio - 8 < x < 8 . Explique por que f tem uma inversa e use o gráfico para encontrar f - 1 2 , f - 1 - 1 e f - 1 0 .
  2. Encontre o domínio e a imagem de f - 1 .
  3. Esboce o gráfico de f - 1 .

Passo 1

Letra a)

Fala galera, tudo na paz? Vamos trazer aqui rapidinho o gráfico da questão:

A letra a quer da gente uma explicação do porque essa função com certeza tem inversa. Bem, pra uma função ter inversa, ela tem que ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Pra isso, deve valer:

Eita que enrolado! Hahahaha calma galera, basicamente isso quer dizer que não vai existir nenhuma valor de y nessa função que pode ser encontrado usando valores diferentes de x e que a função tem imagem e domínio coincidente. Pô, olhando pro gráfico do enunciado dá pra ver que é o nosso caso! Então ta de boas! Um truque vai ser que: toda função estritamente crescente ou decrescente em seu domínio é sempre bijetora, logo invertível.

A letra a ainda pede mais coisa. Ela quer saber:

f - 1 2

f - 1 - 1

f - 1 0

Bem, como, olhando pelo gráfico, temos:

f 8 = 2

f - 1 = - 1

f 0 = 0

Pra gente achar o que a questão pede basta entender esses resultados como pontos

8,2

- 1 , - 1

0 , 0

E como tamos falando de inversas, a gente troca x , y de lugar:

2,8

- 1 , - 1

0,0

O que é o equivalente a:

f - 1 2 = 8 f - 1 - 1 = - 1 f - 1 0 = 0

Passo 2

Letra b)

Bem, a questão pede domínio e imagem da inversa. Bem, vamos olhar de novo pro gráfico da função:

Através dele a gente consegue tirar o domínio e imagem de f, mas calma que não é isso que queremos, vamos trabalhar com ele depois:

D f = x ∈ - 8,8 I m f = y ∈ - 2 , 2

Po galera, pra inversa, literalmente é só inverter hahaha. Afinal, da definição de função inversa, temos:

Sendo assim, ta na mão:

D f - 1 = x ∈ - 2 , 2 I m f - 1 = y ∈ - 8 , 8

Passo 3

Letra c)

Pra esboçar esse gráfico a gente pode usar uma estratégia bacana: funções inversas são imagens espelhadas de suas funções originais em relação ao eixo y = x ! Portanto um esboço pra inversa da nossa função seria a função em vermelho abaixo:

Resposta

a) A função f tem inversa por ser bijetora. Podemos ainda concluir isso ao vermos que ela é estritamente crescente, o que implica em ser bijetora e, logo, invertível.

  1. f - 1 2 = 8 f - 1 - 1 = - 1 f - 1 0 = 0
  2. D f - 1 = x ∈ - 2,2 I m f - 1 = y ∈ - 8,8
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