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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 14

Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = s e n   α t ;

y 0 = 0   e   y ' 0 = 0

Passo 1

O exercício nos pede para encontrar a função y ( t ) . Vamos começar aplicando a transformada de Laplace nos dois lados da equação:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = s e n   α t

L y ' ' + 2 y ' + 2 y = L s e n   α t

L y ' ' + L 2 y ' + L 2 y = L s e n   α t

Vamos chamar L y t = Y ( s ) . Então:

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + 2 s Y s - y 0 + 2 Y s = α s 2 + α 2

s 2 + 2 s + 2 Y s - s x 0 - 0 - 2 x 0 = α s 2 + α 2

s 2 + 2 s + 2 Y s = α s 2 + α 2

Y s = α s 2 + 2 s + 2 s 2 + α 2

Y s = 1 s 2 + 2 s + 2 x α s 2 + α 2

Passo 2

Vamos agora chamar

F s = 1 s 2 + 2 s + 2

F s = 1 s 2 + 2 s + 1 + 1

F s = 1 s + 1 2 + 1

G s = α s 2 + α 2

Antes de continuar vamos relembrar o teorema de convolução. Ele diz que: se F s = L f t e G s = L g t existem e Y s = L y t = F s x G ( s ) , a função y ( t ) pode ser descrita como:

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ

O que vamos fazer então é aplicar a transformada inversa nas funções F ( s ) e G ( s ) para encontrar f ( t ) e g ( t ) .

De acordo com a tabela 6.2.1:

F s = b s - a 2 + b 2 → f t = e a t sen ⁡ b t

G s = a s 2 + a 2 → g t = sen ⁡ a t

Passo 3

Para o nosso exercício:

F s = 1 s + 1 2 + 1 → f t = e - t sen ⁡ t

G s = α s 2 + α 2 → g t = sen ⁡ α t

Aplicando o teorema sobre a convolução:

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ

y t = ∫ 0 t e - ( t - τ ) sen ⁡ ( t - τ ) sen ⁡ α t d τ

y t = e - t ∫ 0 t e τ sen ⁡ ( t - τ ) sen ⁡ α t d τ

Resposta

A função dada é y t = e - t ∫ 0 t e τ sen ⁡ ( t - τ ) sen ⁡ α t d τ .

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