Nos problemas 23-28, use (6) para encontrar f(t)

L^(-1){s / ((s^2 + 4)^2)}

Passo 1

Cara, primeiramente, quem é (6)?

É isso aqui olha:

L - 1 F s . G s = f t * g t             ( I )

Ou seja, a multiplicação no domínio s é a convolução no domínio t

Então, vamos separar o nosso H ( s ) dado em uma multiplicação F s . G ( s ) :

H s = s ( s 2 + 4 ) ²

H s = s s ² + 4 . 1 s ² + 4

Logo, F s = s s ² + 4 e G s = 1 s ² + 4

Agora precisamos encontrar suas transformadas inversas f ( t ) e g ( t ) , pra aí usarmos ( I ) , ok?

Passo 2

Queremos encontrar:

L - 1 F s . G s = f t * g ( t )

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ² = f t * g t       ( I I )

Onde:

f t = L - 1 s s ² + 4

g t = L - 1 2 . 1 2 . ( s 2 + 4 )     ( m u l t i p l i c a m o s   e m   c i m a   e   e m b a i x o   p o r   2   p a r a   c o n s e g u i r m o s   a c h a r   a   i n v e r s a )

Usando o teorema 7.3 do seu livro, temos:

f t = c o s ⁡ ( 2 t )

g t = 1 2 s e n ( 2 t )

Agora é só aplicar em ( I I ) :D

Passo 3

Substituindo f ( t ) e g ( t ) em ( I I ) , temos:

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ² = c o s ⁡ ( 2 t ) * 1 2 s e n ( 2 t )

Pela fórmula de convolução:

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ² = 1 2 ∫ 0 t c o s ⁡ ( 2 τ ) . s e n 2 t - τ d τ

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ² = 1 2 ∫ 0 t c o s ⁡ ( 2 τ ) . s e n 2 t - 2 τ d τ

Pela fórmula de soma de arcos, temos s e n a + b = s e n a . cos ⁡ b + s e n b . c o s ⁡ ( a ) , então:

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ² = 1 2 ∫ 0 t c o s ⁡ ( 2 τ ) . s e n 2 t . cos ⁡ 2 τ - s e n 2 τ . cos ⁡ 2 t d τ

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ² = 1 2 ∫ 0 t s e n 2 t . cos ² ⁡ 2 τ - s e n 2 τ . cos ⁡ 2 t . c o s ⁡ ( 2 τ ) d τ

Podemos separar a integral da subtração na subtração das integrais:

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ² = 1 2 ∫ 0 t s e n 2 t . cos 2 ⁡ 2 τ d τ - ∫ 0 t s e n 2 τ . cos ⁡ 2 t . c o s ⁡ ( 2 τ ) d τ

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ² = 1 2 s e n 2 t ∫ 0 t cos 2 ⁡ 2 τ d τ - cos ⁡ 2 t ∫ 0 t s e n 2 τ . c o s ⁡ ( 2 τ ) d τ

Temos que s e n 2 τ . cos ⁡ 2 τ = s e n ( 4 τ ) 2 :

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ² = 1 2 s e n 2 t ∫ 0 t cos 2 ⁡ 2 τ d τ - cos ⁡ 2 t ∫ 0 t s e n ( 4 τ ) 2 d τ

Resolvendo as integrais:

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ² = t . s e n ( 2 t ) 4

E acabamosss

Resposta

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ² = t . s e n ( 2 t ) 4

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