Nos problemas 23-28, use (6) para encontrar f(t) L^(-1) { s / (s^2 + 4)^2 } ² Passo 1Cara, primeiramente, quem é (6)? É isso aqui olha: L^(- 1) (F (s) . G (s)) = f (t) * g (t) ( I ) Ou seja, a multiplicação no domínio s é a convolução no domínio t Então, vamos separar o nosso H ( s ) dado em uma multiplicação F (s) . G ( s ) : H (s) = (s)/(( s^2 + 4 ) ²) ² H (s) = (s)/(s ² + 4) . (1)/(s ² + 4) ² ² Logo, F (s) = (s)/(s ² + 4) ² e G (s) = (1)/(s ² + 4) ² Agora precisamos encontrar suas transformadas inversas f ( t ) e g ( t ) , pra aí usarmos ( I ) , ok? Passo 2Queremos encontrar: L^(- 1) {F (s) . G (s)} = f (t) * g ( t ) L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = f (t) * g (t) ( I I ) ² Onde: f (t) = L^(- 1) {(s)/(s ² + 4)} ² g (t) = L^(- 1) {(2 . 1)/(2 . ( s^2 + 4 ))} ( m u l t i p l i c a m o s e m c i m a e e m b a i x o p o r 2 p a r a c o n s e g u i r m o s a c h a r a i n v e r s a ) Usando o teorema 7.3 do seu livro, temos: f (t) = c o s ( 2 t ) g (t) = (1)/(2) s e n ( 2 t ) Agora é só aplicar em ( I I ) :D Passo 3Substituindo f ( t ) e g ( t ) em ( I I ) , temos: L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = c o s ( 2 t ) * (1)/(2) s e n ( 2 t ) ² Pela fórmula de convolução: L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = (1)/(2) int_0^t c o s ( 2 tau ) . s e n (2 (t - tau)) d tau ² L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = (1)/(2) int_0^t c o s ( 2 tau ) . s e n (2 t - 2 tau) d tau ² Pela fórmula de soma de arcos, temos s e n (a + b) = s e n (a) . cos (b) + s e n (b) . c o s ( a ) , então: L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = (1)/(2) int_0^t c o s ( 2 tau ) . (s e n (2 t) . cos (2 tau) - s e n (2 tau) . cos (2 t)) d tau ² L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = (1)/(2) int_0^t s e n (2 t) . cos ² (2 tau) - s e n (2 tau) . cos (2 t) . c o s ( 2 tau ) d tau ² ² Podemos separar a integral da subtração na subtração das integrais: L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = (1)/(2) (int_0^t s e n (2 t) . cos^2 (2 tau) d tau - int_0^t s e n (2 tau) . cos (2 t) . c o s ( 2 tau ) d tau) ² L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = (1)/(2) (s e n (2 t) int_0^t cos^2 (2 tau) d tau - cos (2 t) int_0^t s e n (2 tau) . c o s ( 2 tau ) d tau) ² Temos que s e n (2 tau) . cos (2 tau) = (s e n ( 4 tau ))/(2) : L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = (1)/(2) (s e n (2 t) int_0^t cos^2 (2 tau) d tau - cos (2 t) int_0^t (s e n ( 4 tau ))/(2) d tau) ² Resolvendo as integrais: L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = (t . s e n ( 2 t ))/(4) ² E acabamosss Resposta L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = (t . s e n ( 2 t ))/(4) ² MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosExistem também equações, conhecidas como equações integrodiferenciais, em que aparecem tanto derivadas quanto integrais da função desconhecida.(a) Resolva a equação integrodiferencial dada usando a tr(a) Se f t = t m e g t = t n , em que m e n são inteiros positivos mostre que: f * g = t m + n + 1 * ∫ 0 1 u m 1 - u n d u (b) Use o teorema sobre a convolução para mostrar que ∫ 0 1 u m 1 - u n d u =Um problema de interesse na história da matemática é a de encontrar a tautócrona- a curva descrita por uma partícula deslizando livremente sob a ação apenas da gravidade, atingindo o fundo no mesmo inExpresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução:4y'' + 4y' + 17y = g(t); y(0) = 0 e y'(0) = 0Existem também equações, conhecidas como equações integrodiferenciais, em que aparecem tanto derivadas quanto integrais da função desconhecida.(a) Resolva a equação integrodiferencial dada usando a trVer TambémVer Livro Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1Ver tudo sobre Transformada de LaplaceLista de exercícios de EDO de Coeficientes Constantes - ConvoluçãoVer exercício 7.4 - 21Ver exercício 7.4 - 32