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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 27

Nos problemas 23-28, use (6) para encontrar f ( t )

L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)}

Passo 1

Cara, primeiramente, quem é (6)?

É isso aqui olha:

L^(- 1) (F (s) . G (s)) = f (t) * g (t) ( I )

Ou seja, a multiplicação no domínio s é a convolução no domínio t

Então, vamos separar o nosso H ( s ) dado em uma multiplicação F (s) . G ( s ) :

H (s) = (s)/(( s^2 + 4 ) ²)

H (s) = (s)/(s ² + 4) . (1)/(s ² + 4)

Logo, F (s) = (s)/(s ² + 4) e G (s) = (1)/(s ² + 4)

Agora precisamos encontrar suas transformadas inversas f ( t ) e g ( t ) , pra aí usarmos ( I ) , ok?

Passo 2

Queremos encontrar:

L^(- 1) {F (s) . G (s)} = f (t) * g ( t )

L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = f (t) * g (t) ( I I )

Onde:

f (t) = L^(- 1) {(s)/(s ² + 4)}

g (t) = L^(- 1) {(2 . 1)/(2 . ( s^2 + 4 ))} ( m u l t i p l i c a m o s e m c i m a e e m b a i x o p o r 2 p a r a c o n s e g u i r m o s a c h a r a i n v e r s a )

Usando o teorema 7.3 do seu livro, temos:

f (t) = c o s ( 2 t )

g (t) = (1)/(2) s e n ( 2 t )

Agora é só aplicar em ( I I ) :D

Passo 3

Substituindo f ( t ) e g ( t ) em ( I I ) , temos:

L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = c o s ( 2 t ) * (1)/(2) s e n ( 2 t )

Pela fórmula de convolução:

L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = (1)/(2) int_0^t c o s ( 2 tau ) . s e n (2 (t - tau)) d tau

L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = (1)/(2) int_0^t c o s ( 2 tau ) . s e n (2 t - 2 tau) d tau

Pela fórmula de soma de arcos, temos s e n (a + b) = s e n (a) . cos (b) + s e n (b) . c o s ( a ) , então:

L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = (1)/(2) int_0^t c o s ( 2 tau ) . (s e n (2 t) . cos (2 tau) - s e n (2 tau) . cos (2 t)) d tau

L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = (1)/(2) int_0^t s e n (2 t) . cos ² (2 tau) - s e n (2 tau) . cos (2 t) . c o s ( 2 tau ) d tau

Podemos separar a integral da subtração na subtração das integrais:

L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = (1)/(2) (int_0^t s e n (2 t) . cos^2 (2 tau) d tau - int_0^t s e n (2 tau) . cos (2 t) . c o s ( 2 tau ) d tau)

L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = (1)/(2) (s e n (2 t) int_0^t cos^2 (2 tau) d tau - cos (2 t) int_0^t s e n (2 tau) . c o s ( 2 tau ) d tau)

Temos que s e n (2 tau) . cos (2 tau) = (s e n ( 4 tau ))/(2) :

L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = (1)/(2) (s e n (2 t) int_0^t cos^2 (2 tau) d tau - cos (2 t) int_0^t (s e n ( 4 tau ))/(2) d tau)

Resolvendo as integrais:

L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = (t . s e n ( 2 t ))/(4)

E acabamosss

Resposta

L^(- 1) {(s)/(( s^2 + 4 ) ²)} = (t . s e n ( 2 t ))/(4)

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