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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 18

Expresse as somas em formas fechadas.

sum_(k = 1)^(n - 1) (k^2)/(n)

Passo 1

Aqui o nosso n tá sendo a constante, e o k é a variável. Vamos começar separando isso:

(1)/(n) sum_(k = 1)^(n - 1) k^2

E agora a gente recorre ao teorema que transforma esse somatório assim:

sum_(k = 1)^n k^2 = (n (n + 1) (2 n + 1))/(6)

Lembra que no nosso somatório o n é n - 1 . Aplicando isso no nosso então temos...

Passo 2

sum_(k = 1)^(n - 1) k^2 = ((n - 1) (n - 1 + 1) (2 (n - 1) + 1))/(6)

= (n (n - 1) (2 n - 1))/(6)

Show! Agora a gente junta com a constante que tá multiplicando ali:

(1)/(n) ((n (n - 1) (2 n - 1))/(6))

= ((n - 1) (2 n - 1))/(6)

E prontinho!

Resposta

((n - 1) (2 n - 1))/(6)

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