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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 67

( a ) Mostre que

F x = arctan ⁡ x e G x = - arctan ⁡ 1 x

diferem por uma constante no intervalo ( 0 ,   + ∞ ) mostrando que ambas as funções são antiderivadas de uma mesma função.

( b ) Encontre a constante C tal que F x - G x = C calculando as funções F ( x ) e G ( x ) num valor particular de x .

( c ) Confira sua resposta na parte ( b ) usando identidades trigonométricas.

Passo 1

Bom galera, vamos começar derivando F ( x ) e G ( x ) , esses valores a gente pode usar uma tabela de derivadas pra ajudar a gente:

F ' x = 1 1 + x 2

G ' x = - 1 1 + 1 x 2 ⋅ - 1 x 2 = 1 x 2 + 1 = F ' ( x )

Então, a gente pode concluir que 1 1 + x 2 pode ter duas integrais:

∫ 1 1 + x 2   d x = F x = G x + C

Passo 2

Agora, vamos testar nossas funções para o x = 1 :

F 1 = arctan ⁡ 1 = π 4

G 1 = - arctan ⁡ 1 = - π 4

Então a gente pode encontrar C :

F 1 - G 1 = π 4 - - π 4 = π 2 = C

Passo 3

Por fim, usamos as identidades trigonométricas, para descobrirmos que:

- arctan ⁡ 1 x = arccot ⁡ x = π 2 + arctan ⁡ x

Resposta

b C = π 2

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