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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.2 - Ex. 2

Determine os domínios e as imagens de f , g , f + g , f * g

f (x) = sqrt(x + 1)

g (x) = sqrt(x - 1)

Passo 1

A questão é bem direta ao ponto. Precisamos determinar as funções compostas e depois o domínio e a imagem de cada uma delas. Antes de começar qualquer coisa, vamos relembrar o que é o domínio e a imagem de uma função:

  • O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de x que satisfazem a nossa f ( x ) . Isto é, faz com que f ( x ) exista;
  • A imagem é o conjunto de todos os valores de f ( x ) , para cada valor de x .

O domínio da função f + g e f * g consiste na interseção dos domínios da função f e g . Em outras palavras, isto é:

D_f + g = D_f * g = D_f nn D_g

Já o valor da imagem será analisado caso a caso.

Passo 2

A função f consiste em uma função raiz. Ela só existe quando o argumento de dentro da raiz possui valor maior ou igual a zero. Desta forma, é necessário que:

x + 1 >= 0

x >= - 1

Portanto, D_f = {x in R| x >= - 1 } . Já a imagem das funções raízes consistem nos números reais positivos e nulos.

Passo 3

A função g (x) = sqrt(x - 1) consiste em uma função raiz. Ela só existe quando o argumento de dentro da raiz possui valor maior ou igual a zero. Desta forma, é necessário que:

x - 1 >= 0

x >= 1

Portanto, D_g = {x in R| x >= 1 } . Já a imagem das funções raízes consistem nos números reais positivos e nulos.

Passo 4

O domínio da função f + g é a interseção dos domínios das funções f e g , isto é:

D_f + g = x >= 1

Já a imagem, para x = 1 , temos:

f (1) + g (1) = sqrt(2)

E a medida em que x cresce, o valor de f + g também cresce. Portanto, a imagem é o intervalo [ sqrt(2) , oo ) .

Passo 5

O domínio da função f * g é a interseção dos domínios das funções f e g , isto é:

D_f * g = x >= 1

Já a imagem, para x = 1 , temos:

f (1) * g (1) = 0

E a medida em que x cresce, o valor de f * g também cresce. Portanto, a imagem é o intervalo [ 0 , oo ) .

Resposta

Função f ( x ) :

  • Domínio: x >= - 1 ;
  • Imagem: [ 0 , oo ) .

    • Função g ( x ) :

  • Domínio: x >= 1 ;
  • Imagem: [ 0 , oo ) .

    • Função f (x) + g ( x ) :

  • Domínio: x >= 1 ;
  • Imagem: [ sqrt(2) , oo ) .

    • Função f (x) * g ( x ) :

  • Domínio: x >= 1 ;
  • Imagem: [ 0 , oo ) .
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Expresse f como uma composição de duas funções; isto é, encontre g e h tais que f = g ∘ h. [Nota: Cada exercício tem mais de uma solução.](a) f x = sen 2 ⁡ x (b) f x = 3 5 + cos ⁡ x