A extremidade direita de uma barra de comprimento a com condutividade térmica k 1 e área de seção reta A 1 , é juntada à extremidade esquerda de uma barra com condutividade térmica k 2 e área de seção reta A 2 . A barra composta tem comprimento total L. Suponha que a extremidade x = 0 é mantida à temperatura zero, ao passo que a extremidade x = L é mantida à temperatura T. Encontre a temperatura na barra composta no estado estacionário, supondo que a temperatura e a taxa de fluxo de calor são contínuas em x = a .Sugestão: Veja e Eq.(2) no Apêndice A.

v ( x )=T L - a ( x - a )- a K 2 A 2 T ( L - a ) k 1 A 1 + a K 2 A 2 ( x - a- 1) , para xa .

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.6 - Ex. 19

A extremidade direita de uma barra de comprimento a com condutividade térmica e área de seção reta , é juntada à extremidade esquerda de uma barra com condutividade térmica e área de seção reta . A barra composta tem comprimento total L. Suponha que a extremidade é mantida à temperatura zero, ao passo que a extremidade é mantida à temperatura T. Encontre a temperatura na barra composta no estado estacionário, supondo que a temperatura e a taxa de fluxo de calor são contínuas em .

Sugestão: Veja e Eq.(2) no Apêndice A.

Passo 1

Vamos supor que v(x) é a temperatura na barra em função da posição x.

Como a temperatura em deve ser contínua, sabemos (da seção 10.6) que a distribuição das temperaturas entre e deve ser linear, assim como a distribuição entre e .

Teremos então uma distribuição de temperatura:

, para .

Da equação (2) do apêndice A, temos que:

Passo 2

Substituindo, teremos:

Logo:

Obtemos então a seguinte distribuição:

, para

Resposta

, para

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que as condições são como nos Problemas 15 e 16, exceto que a condição de contorno em x = 0 é u(0, t) = 40.Encontre a temperatura u(x, t).Faça o gráfico de u em função de x para diversos valor

Considere o problema α ² u x x = u t ,0xL ,t0 ; ² u ( 0 , t ) = 0 ,u x ( L , t ) + γ u ( L , t ) = 0 ,t0 ; u ( x , 0 ) = f ( x ) ,0≤x≤L Seja u(x, t) = X(x)T(t) e mostre que X ' ' + λ X = 0 ,X ( 0 ) =

Na barra do Problema 15, suponha que L = 30 ,q u eα ² = 1 ² e que a distribuição inicial de temperatura é f(x) = 30 – x para 0 Encontre a temperatura u(x, t).Faça o gráfico de u em função de x para di

Sejam ϕ 1 ,ϕ 2 ,...,ϕ n ,... as autofunções normalizadas da equação diferencial (3) sujeita às condições de contorno (2). Se ∑ n = 1 ∞ c n ϕ n x convergir para f ( x ) , em que f ( x )=0 para todo x e