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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.6 - Ex. 19

A extremidade direita de uma barra de comprimento a com condutividade térmica k 1 e área de seção reta A 1 , é juntada à extremidade esquerda de uma barra com condutividade térmica k 2 e área de seção reta A 2 . A barra composta tem comprimento total L. Suponha que a extremidade x = 0 é mantida à temperatura zero, ao passo que a extremidade x = L é mantida à temperatura T. Encontre a temperatura na barra composta no estado estacionário, supondo que a temperatura e a taxa de fluxo de calor são contínuas em x = a .

Sugestão: Veja e Eq.(2) no Apêndice A.

Passo 1

Vamos supor que v(x) é a temperatura na barra em função da posição x.

Como a temperatura em x = a deve ser contínua, sabemos (da seção 10.6) que a distribuição das temperaturas entre x = 0 e x = a deve ser linear, assim como a distribuição entre x = a   e x = L .

Teremos então uma distribuição de temperatura:

v ( x ) = T a   x a , para x ≤ a .

v ( x )   = ( T - T a ) ( L - a ) ( x - a ) + T a , para x > a .

Da equação (2) do apêndice A, temos que:

k 1 A 1 d v ( x ) d x = k 2 A 2 d v ( x ) d x

Passo 2

Substituindo, teremos:

k 1 A 1 T a a = k 2 A 2 ( T - T a ) ( L - a )

Logo:

T a = a K 2 A 2 T ( L - a ) k 1 A 1 + a K 2 A 2

Obtemos então a seguinte distribuição:

v ( x ) = a K 2 A 2 T ( L - a ) k 1 A 1 + a K 2 A 2 x a , para x ≤ a .

v ( x )   =   T L - a ( x - a )   - a K 2 A 2 T ( L - a ) k 1 A 1 + a K 2 A 2 ( x - a   - 1   ) , para x > a .

Resposta

v ( x )   =   T L - a ( x - a )   - a K 2 A 2 T ( L - a ) k 1 A 1 + a K 2 A 2 ( x - a   - 1   ) , para x > a .

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