Considere o problema
- Seja u(x, t) = X(x)T(t) e mostre que
-
em que é a constante de separação.
- Suponha que λ é real e mostre que o problema (ii) não tem soluções não triviais se λ ≤ 0.
- Se λ > 0, seja λ = μ2 com μ > 0. Mostre que o problema (ii) só tem soluções não triviais seμ for solução da equação
- Reescreva a Eq. (iii) como tan(μL) = −μ/γ. Depois, desenhando os gráficos de y = tan(μL) ede y = −μL/γL para μ > 0 no mesmo conjunto de eixos, mostre que a Eq. (iii) é satisfeita por uma infinidade de valores positivos de μ; denote esses valores por μ1, μ2, . . . , μn, . . . ,ordenados em ordem crescente.
- Determine o conjunto de soluções fundamentais un(x, t) correspondente aos valores μn encontrados no item (d).
Passo 1
Na letra a:
Temos a seguinte EDP:
Dividindo ambos os lados, obtemos as seguinte EDOs:
e
Usando as condições de contorno, vamos chegar nessa equação aqui ó:
Para todo :
e
Passo 2
Na letra b:
A solução geral da EDO é:
A primeira condição de contorno é e a segunda é:
Após manipulações matemáticas, chegamos em:
Passo 3
Na letra c:
Então, a solução geral é:
E, utilizando as condições de contorno, chegamos em:
Passo 4
Na letra d:
A equação pode ser escrita como:
Assumindo :
Para
Passo 5
Na letra e:
A solução geral é:
Resposta
- e