Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.6 - Ex. 20
Considere o problema
- Seja u(x, t) = X(x)T(t) e mostre que
-
em que é a constante de separação.
- Suponha que λ é real e mostre que o problema (ii) não tem soluções não triviais se λ ≤ 0.
- Se λ > 0, seja λ = μ2 com μ > 0. Mostre que o problema (ii) só tem soluções não triviais seμ for solução da equação
- Reescreva a Eq. (iii) como tan(μL) = −μ/γ. Depois, desenhando os gráficos de y = tan(μL) ede y = −μL/γL para μ > 0 no mesmo conjunto de eixos, mostre que a Eq. (iii) é satisfeita por uma infinidade de valores positivos de μ; denote esses valores por μ1, μ2, . . . , μn, . . . ,ordenados em ordem crescente.
- Determine o conjunto de soluções fundamentais un(x, t) correspondente aos valores μn encontrados no item (d).
Passo 1
Na letra a:
Temos a seguinte EDP:
Dividindo ambos os lados, obtemos as seguinte EDOs:
e
Usando as condições de contorno, vamos chegar nessa equação aqui ó:
Para todo :
e
Passo 2
Na letra b:
A solução geral da EDO é:
A primeira condição de contorno é e a segunda é:
Após manipulações matemáticas, chegamos em:
Passo 3
Na letra c:
Então, a solução geral é:
E, utilizando as condições de contorno, chegamos em:
Passo 4
Na letra d:
A equação pode ser escrita como:
Assumindo :
Para
Passo 5
Na letra e:
A solução geral é:
Resposta
- e
Exercícios de Livros Relacionados
Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução estado estacionário da equação do calor α 2 u x x = u t que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno. u x ( 0 , t ) - u ( 0 , t ) = 0 , u
Suponha que as extremidades de uma barra de cobre com 100 cm de comprimento são mantidas a 0°C. Suponha que o centro da barra é aquecido a 100°C por uma fonte externa de calor; que essa situação se ma
Considere uma barra com 40 cm de comprimento cuja temperatura inicial é dada por u ( x , 0 ) = x ( 60 - x ) / 30 . Suponha que α 2 = 1 / 4 c m 2 / s e que ambas as extremidades da barra estão isoladas
Considere uma barra de alumínio, com 20 cm de comprimento, inicialmente a uma temperatura uniforme de 25°C. Suponha que, no instante t = 0, a extremidade x = 0 é esfriada a 0°C, enquanto a extremidade
Escreva u(x, t) = υ(x) + (x, t), em que υ e são as partes estacionária e transiente,respectivamente, da solução. Enuncie os problemas de valores de contorno que υ(x) e w(x, t)satisfazem, respectivamen